Сколько баллов даёт задание 7 ОГЭ по математике?

Максимум 1 балл — как и большинство заданий части 1. Ставится только за полностью верный выбор из четырёх вариантов; частично верных ответов не бывает.

Какие типы задач встречаются в номере 7?

В банке ФИПИ 16 типов: сравнение дробей и корней с целыми числами, проверка принадлежности отрезку или промежутку, поиск числа между двумя дробями, определение точки среди A, B, C, D по значению, знаки выражений с x и y, сравнение разностей по порядку точек на прямой. Выбери тип кнопкой над задачами или тренируй все типы вперемешку. У каждой задачи есть пошаговый разбор.

Нужно ли уметь извлекать точный квадратный корень?

Нет — задание проверяет умение оценить корень между соседними целыми числами (через ближайшие квадраты), а не вычислить его точно. Калькулятор на экзамене недоступен, и он не нужен.

Как быстро понять, какое из чисел "дальше" на числовой прямой?

Переведи все числа в один формат — десятичные дроби — и сравнивай как обычные числа. Для отрицательных чисел помни: чем больше модуль, тем меньше само число.

Сколько времени отводить на номер 7?

Обычно 1–2 минуты. Задача не требует вычислений в столбик — только прикидки и сравнения, поэтому если тратишь больше времени, скорее всего, идёшь не тем путём (например, пытаешься найти точное значение корня).

Разбор 7 задания ОГЭ по математике: 16 типов с решениями

Задача 1

Тип 1

Условие

Между какими целыми числами заключено число $\dfrac{170}{19}$?

1)8 и 9
2)9 и 10
3)10 и 11
4)11 и 12

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$170=19\cdot 8+18$

$\dfrac{170}{19}=8+\dfrac{18}{19}$

Целая часть равна 8, остаток 18 положителен и меньше 19. Поэтому дробная часть больше нуля и меньше единицы.

$8<\dfrac{170}{19}<9$

Число находится строго между целой частью и следующим целым числом.

Ответ 1) 8 и 9

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Сравнивай точные значения и границы промежутков. Округление может перенести число в соседний промежуток.

Задача 2

Тип 2

Условие

Одно из чисел $\dfrac{6}{23}$, $\dfrac{9}{23}$, $\dfrac{10}{23}$ и $\dfrac{12}{23}$ отмечено на числовой прямой точкой A. Какое это число?

1)$\dfrac{6}{23}$
2)$\dfrac{9}{23}$
3)$\dfrac{10}{23}$
4)$\dfrac{12}{23}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$0{,}4<A<0{,}5$

Сначала определяем цену деления. Указанные границы описывают область, где стоит точка, а не её точную координату.

$0{,}26<\dfrac{6}{23}<0{,}27$

$0{,}39<\dfrac{9}{23}<0{,}4$

$0{,}43<\dfrac{10}{23}<0{,}44$

$0{,}52<\dfrac{12}{23}<0{,}53$

Для дробей делим с остатком. Для корней сравниваем квадраты сотых. Строгие оценки позволяют различить близкие варианты.

$0{,}4<\dfrac{10}{23}<0{,}5$

Среди четырёх вариантов только эта дробь попадает в отмеченную область.

Ответ 3) $\dfrac{10}{23}$

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Определи цену деления по подписанным отметкам. Если рядом несколько вариантов, оцени их точнее, а не округляй до целых.

Задача 3

Тип 3

Условие

Какое из чисел $\dfrac{67}{12}$, $\dfrac{71}{12}$, $\dfrac{83}{12}$ и $\dfrac{91}{12}$ принадлежит отрезку $[6; 7]$?

1)$\dfrac{67}{12}$
2)$\dfrac{71}{12}$
3)$\dfrac{83}{12}$
4)$\dfrac{91}{12}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\dfrac{67}{12}=5+\dfrac{7}{12}$

$\dfrac{71}{12}=5+\dfrac{11}{12}$

$\dfrac{83}{12}=6+\dfrac{11}{12}$

$\dfrac{91}{12}=7+\dfrac{7}{12}$

Нужен отрезок от 6 до 7. Целая часть помогает отсеять дроби вне него; отдельно учитываем включённые концы.

$6<\dfrac{83}{12}<7$

Только эта дробь лежит между указанными границами.

Ответ 3) $\dfrac{83}{12}$

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Сравнивай точные значения и границы промежутков. Округление может перенести число в соседний промежуток.

Задача 4

Тип 4

Условие

Между какими числами заключено число $\sqrt{72}$?

1)24 и 26
2)8 и 9
3)71 и 73
4)4 и 5

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$8^2=64$

$9^2=81$

$64<72<81$

Подкоренное число лежит строго между квадратами двух соседних целых чисел.

$8<\sqrt{72}<9$

На неотрицательных числах извлечение корня сохраняет порядок.

Ответ 2) 8 и 9

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Сравнивай точные значения и границы промежутков. Округление может перенести число в соседний промежуток.

Задача 5

Тип 5

Условие

Какое из следующих чисел заключено между числами $\dfrac{18}{17}$ и $\dfrac{17}{15}$?

1)1
2)1,1
3)1,2
4)1,3

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\dfrac{18}{17}=\dfrac{540}{510}$

$1{,}1=\dfrac{561}{510}$

$\dfrac{17}{15}=\dfrac{578}{510}$

Приводим все три числа к положительному общему знаменателю 510. Так сравнение не зависит от округления.

$540<561<578$

$\dfrac{18}{17}<1{,}1<\dfrac{17}{15}$

Числитель выбранного числа находится строго между двумя другими. Остальные варианты за эти границы не попадают.

Ответ 2) 1,1

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Сравнивай точные значения и границы промежутков. Округление может перенести число в соседний промежуток.

Задача 6

Тип 6

Условие

Одно из чисел $\dfrac{55}{19}$, $\dfrac{64}{19}$, $\dfrac{72}{19}$ и $\dfrac{79}{19}$ отмечено на числовой прямой точкой A. Какое это число?

1)$\dfrac{55}{19}$
2)$\dfrac{64}{19}$
3)$\dfrac{72}{19}$
4)$\dfrac{79}{19}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$3{,}5<A<4$

Сначала определяем цену деления. Указанные границы описывают область, где стоит точка, а не её точную координату.

$2{,}89<\dfrac{55}{19}<2{,}9$

$3{,}36<\dfrac{64}{19}<3{,}37$

$3{,}78<\dfrac{72}{19}<3{,}79$

$4{,}15<\dfrac{79}{19}<4{,}16$

Для дробей делим с остатком. Для корней сравниваем квадраты сотых. Строгие оценки позволяют различить близкие варианты.

$3{,}5<\dfrac{72}{19}<4$

Среди четырёх вариантов только эта дробь попадает в отмеченную область.

Ответ 3) $\dfrac{72}{19}$

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Определи цену деления по подписанным отметкам. Если рядом несколько вариантов, оцени их точнее, а не округляй до целых.

Задача 7

Тип 7

Условие

На координатной прямой отмечены точки $A$, $B$, $C$, $D$. Одна из них соответствует числу $\dfrac{100}{21}$. Какая это точка?

1)$A$
2)$B$
3)$C$
4)$D$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\dfrac{100}{21}=4+\dfrac{16}{21}$

$4{,}76<\dfrac{100}{21}<4{,}77$

Сначала находим целую часть, затем делим остаток на знаменатель до сотых. Знак приближения не подменяем равенством.

$A:\quad 4< A <4{,}5$

$B:\quad 4{,}5< B <5$

$C:\quad 5< C <5{,}5$

$D:\quad 5{,}5< D <6$

Мысленно отмечаем середины единичных отрезков и определяем, в какой половине находится каждая точка. Это границы областей, а не точные координаты точек.

$4{,}76<\dfrac{100}{21}<4{,}77$

Число попадает в область точки B. Остальные точки находятся в других областях.

Ответ 2) $B$

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Сначала проверь целую часть, затем положение внутри единичного отрезка. Точка за следующей целой отметкой не подходит.

Задача 8

Тип 8

Условие

На координатной прямой отмечены точки $A$, $B$, $C$, $D$. Одна из них соответствует числу $\sqrt{96}$. Какая это точка?

1)точка $A$
2)точка $B$
3)точка $C$
4)точка $D$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$9{,}79^2=95{,}8441$

$9{,}8^2=96{,}04$

$95{,}8441<96<96{,}04$

$9{,}79<\sqrt{96}<9{,}8$

Сравнение квадратов даёт оценку до сотых, не требуя вычислять корень точно.

$A:\quad 8< A <8{,}5$

$B:\quad 8{,}5< B <9$

$C:\quad 9< C <9{,}5$

$D:\quad 9{,}5< D <10$

Мысленно отмечаем середины единичных отрезков и определяем, в какой половине находится каждая точка. Это границы областей, а не точные координаты точек.

$9{,}79<\sqrt{96}<9{,}8$

Число попадает в область точки D. Остальные точки находятся в других областях.

Ответ 4) точка $D$

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Сначала проверь целую часть, затем положение внутри единичного отрезка. Точка за следующей целой отметкой не подходит.

Задача 9

Тип 9

Условие

На координатной прямой отмечены числа $x$ и $y$. Какое из следующих неравенств верно?

1)$x^2y > 0$
2)$xy^2 < 0$
3)$x + y < 0$
4)$y - x > 0$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$y<0<x$

$|y|>|x|$

Точка слева от нуля задаёт отрицательное число. По расстояниям от нуля сравниваем модули; точные координаты не нужны.

$x^2y<0$

Квадрат ненулевого числа положителен. Знак произведения зависит от количества отрицательных множителей в нечётной степени. Указанное в варианте неравенство неверно.

$xy^2>0$

Квадрат ненулевого числа положителен. Знак произведения зависит от количества отрицательных множителей в нечётной степени. Указанное в варианте неравенство неверно.

$x + y<0$

При разных знаках знак суммы совпадает со знаком числа с большим модулем. Указанное в варианте неравенство верно.

$y - x<0$

Разность отрицательна, если уменьшаемое левее вычитаемого, и положительна, если правее. Указанное в варианте неравенство неверно.

Ответ 3) $x + y < 0$

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Квадрат отрицательного числа положителен. Для суммы чисел разных знаков нужно сравнить модули, а не только знаки.

Задача 10

Тип 10

Условие

На координатной прямой отмечено число $a$. Какое из утверждений для этого числа является верным?

1)$a - 4 < 0$
2)$7 - a < 0$
3)$a - 3 > 0$
4)$2 - a > 0$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$4<a<5$

Между отметками 0 и 1 один единичный отрезок. Отсчитываем деления и находим соседние целые для точки a.

$a-4>0$

Из границ видно, что a больше 4. Знак в варианте указан неверно.

$7-a>0$

Из границ видно, что a меньше 7. Знак в варианте указан неверно.

$a-3>0$

Из границ видно, что a больше 3. Вариант верен.

$2-a<0$

Из границ видно, что a больше 2. Знак в варианте указан неверно.

Ответ 3) $a - 3 > 0$

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Разность a − n и разность n − a имеют противоположные знаки. Сначала установи порядок этих двух чисел.

Задача 11

Тип 11

Условие

На координатной прямой отмечены числа $p$, $q$ и $r$. Какая из разностей $q - p$, $q - r$, $r - p$ отрицательна?

1)$q - p$
2)$q - r$
3)$r - p$
4)ни одна из них

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$p<q<r$

Чем правее точка на координатной прямой, тем больше соответствующее число.

$q-p>0$

Число q правее числа p, поэтому разность положительна.

$q-r<0$

Число q левее числа r, поэтому разность отрицательна.

$r-p>0$

Число r правее числа p, поэтому разность положительна.

Ответ 2) $q - r$

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Знак разности определяется порядком уменьшаемого и вычитаемого. Координаты точек вычислять не нужно.

Задача 12

Тип 12

Условие

На координатной прямой отмечены числа $x$, $y$ и $z$. Какая из разностей $z - x$, $x - y$, $z - y$ положительна?

1)$z - x$
2)$x - y$
3)$z - y$
4)ни одна из них

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$z<y<x$

Чем правее точка на координатной прямой, тем больше соответствующее число.

$z-x<0$

Число z левее числа x, поэтому разность отрицательна.

$x-y>0$

Число x правее числа y, поэтому разность положительна.

$z-y<0$

Число z левее числа y, поэтому разность отрицательна.

Ответ 2) $x - y$

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Знак разности определяется порядком уменьшаемого и вычитаемого. Координаты точек вычислять не нужно.

Задача 13

Тип 13

Условие

На координатной прямой точки $A$, $B$, $C$ и $D$ соответствуют числам $-0,39$; $-0,09$; $-0,93$; $0,03$. Какой точке соответствует число $-0,09$?

1)$A$
2)$B$
3)$C$
4)$D$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$-0{,}39=\dfrac{-39}{100}$

$-0{,}09=\dfrac{-9}{100}$

$-0{,}93=\dfrac{-93}{100}$

$0{,}03=\dfrac{3}{100}$

У всех дробей положительный знаменатель 100; сравниваем целые числители, учитывая знак.

$-0{,}93<-0{,}39<-0{,}09<0{,}03$

Отрицательные числа левее положительных. Из отрицательных меньше то, у которого модуль больше.

$A=-0{,}93$

$B=-0{,}39$

$C=-0{,}09$

$D=0{,}03$

На рисунке точки идут в порядке A, B, C, D. Числу -0,09 соответствует точка C.

Ответ 3) $C$

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: У отрицательных чисел больший модуль означает меньшее число. Нули в конце десятичной записи не меняют значение.

Задача 14

Тип 14

Условие

Одно из чисел $\sqrt{18}$, $\sqrt{24}$, $\sqrt{26}$, $\sqrt{32}$ отмечено на прямой точкой A. Какое это число?

1)$\sqrt{18}$
2)$\sqrt{24}$
3)$\sqrt{26}$
4)$\sqrt{32}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$5<A<5{,}5$

Сначала определяем цену деления. Указанные границы описывают область, где стоит точка, а не её точную координату.

$4{,}24<\sqrt{18}<4{,}25$

$4{,}89<\sqrt{24}<4{,}9$

$5{,}09<\sqrt{26}<5{,}1$

$5{,}65<\sqrt{32}<5{,}66$

Для дробей делим с остатком. Для корней сравниваем квадраты сотых. Строгие оценки позволяют различить близкие варианты.

$5^2=25$

$5{,}5^2=30{,}25$

$25<26<30{,}25$

$5<\sqrt{26}<5{,}5$

Только этот корень попадает в область точки A на рисунке.

Ответ 3) $\sqrt{26}$

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Определи цену деления по подписанным отметкам. Если рядом несколько вариантов, оцени их точнее, а не округляй до целых.

Задача 15

Тип 15

Условие

Какое из чисел $\sqrt{6}$, $\sqrt{7}$, $\sqrt{35}$ и $\sqrt{42}$ принадлежит промежутку [6; 7]?

1)$\sqrt{6}$
2)$\sqrt{7}$
3)$\sqrt{35}$
4)$\sqrt{42}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$6^2=36$

$7^2=49$

Квадратный корень возрастает: проверяем подкоренные числа между квадратами границ.

$6<36$

$7<36$

$35<36$

$42\in[36;49]$

В квадратный промежуток попадает только одно подкоренное число.

$6<\sqrt{42}<7$

Выбираем соответствующий корень, а в ответ записываем номер варианта.

Ответ 4) $\sqrt{42}$

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Сравнивай точные значения и границы промежутков. Округление может перенести число в соседний промежуток.

Задача 16

Тип 16

Условие

Какому из данных промежутков принадлежит число $\dfrac{3}{11}$?

1)[0,1; 0,2]
2)[0,2; 0,3]
3)[0,3; 0,4]
4)[0,4; 0,5]

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$3\cdot100=300$

$300=11\cdot27+3$

$0{,}27<\dfrac{3}{11}<0{,}28$

Деление до сотых с остатком даёт нижнюю границу; следующая сотая даёт верхнюю. Это строгие границы, а не округлённое равенство.

$0{,}2<\dfrac{3}{11}<0{,}3$

Дробь находится внутри этого промежутка. Квадратные скобки также включают его концы.

Ответ 2) [0,2; 0,3]

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Сравнивай точные значения и границы промежутков. Округление может перенести число в соседний промежуток.

Задача 17

Тип 1

Условие

Между какими целыми числами заключено число $\dfrac{140}{17}$?

1)5 и 6
2)6 и 7
3)7 и 8
4)8 и 9

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$140=17\cdot 8+4$

$\dfrac{140}{17}=8+\dfrac{4}{17}$

Целая часть равна 8, остаток 4 положителен и меньше 17. Поэтому дробная часть больше нуля и меньше единицы.

$8<\dfrac{140}{17}<9$

Число находится строго между целой частью и следующим целым числом.

Ответ 4) 8 и 9

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Сравнивай точные значения и границы промежутков. Округление может перенести число в соседний промежуток.

Задача 18

Тип 2

Условие

Одно из чисел $\dfrac{4}{11}$, $\dfrac{8}{11}$, $\dfrac{9}{11}$ и $\dfrac{13}{11}$ отмечено на числовой прямой точкой A. Какое это число?

1)$\dfrac{4}{11}$
2)$\dfrac{8}{11}$
3)$\dfrac{9}{11}$
4)$\dfrac{13}{11}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$0{,}8<A<0{,}9$

Сначала определяем цену деления. Указанные границы описывают область, где стоит точка, а не её точную координату.

$0{,}36<\dfrac{4}{11}<0{,}37$

$0{,}72<\dfrac{8}{11}<0{,}73$

$0{,}81<\dfrac{9}{11}<0{,}82$

$1{,}18<\dfrac{13}{11}<1{,}19$

Для дробей делим с остатком. Для корней сравниваем квадраты сотых. Строгие оценки позволяют различить близкие варианты.

$0{,}8<\dfrac{9}{11}<0{,}9$

Среди четырёх вариантов только эта дробь попадает в отмеченную область.

Ответ 3) $\dfrac{9}{11}$

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Определи цену деления по подписанным отметкам. Если рядом несколько вариантов, оцени их точнее, а не округляй до целых.

Задача 19

Тип 3

Условие

Какое из чисел $\dfrac{45}{19}$, $\dfrac{52}{19}$, $\dfrac{68}{19}$ и $\dfrac{77}{19}$ принадлежит отрезку $[3; 4]$?

1)$\dfrac{45}{19}$
2)$\dfrac{52}{19}$
3)$\dfrac{68}{19}$
4)$\dfrac{77}{19}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\dfrac{45}{19}=2+\dfrac{7}{19}$

$\dfrac{52}{19}=2+\dfrac{14}{19}$

$\dfrac{68}{19}=3+\dfrac{11}{19}$

$\dfrac{77}{19}=4+\dfrac{1}{19}$

Нужен отрезок от 3 до 4. Целая часть помогает отсеять дроби вне него; отдельно учитываем включённые концы.

$3<\dfrac{68}{19}<4$

Только эта дробь лежит между указанными границами.

Ответ 3) $\dfrac{68}{19}$

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Сравнивай точные значения и границы промежутков. Округление может перенести число в соседний промежуток.

Задача 20

Тип 4

Условие

Между какими числами заключено число $\sqrt{30}$?

1)11 и 13
2)5 и 6
3)2 и 3
4)29 и 31

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$5^2=25$

$6^2=36$

$25<30<36$

Подкоренное число лежит строго между квадратами двух соседних целых чисел.

$5<\sqrt{30}<6$

На неотрицательных числах извлечение корня сохраняет порядок.

Ответ 2) 5 и 6

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Сравнивай точные значения и границы промежутков. Округление может перенести число в соседний промежуток.

Задача 21

Тип 5

Условие

Какое из следующих чисел заключено между числами $\dfrac{15}{11}$ и $\dfrac{13}{9}$?

1)1,4
2)1,5
3)1,6
4)1,7

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\dfrac{15}{11}=\dfrac{675}{495}$

$1{,}4=\dfrac{693}{495}$

$\dfrac{13}{9}=\dfrac{715}{495}$

Приводим все три числа к положительному общему знаменателю 495. Так сравнение не зависит от округления.

$675<693<715$

$\dfrac{15}{11}<1{,}4<\dfrac{13}{9}$

Числитель выбранного числа находится строго между двумя другими. Остальные варианты за эти границы не попадают.

Ответ 1) 1,4

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Сравнивай точные значения и границы промежутков. Округление может перенести число в соседний промежуток.

Задача 22

Тип 6

Условие

Одно из чисел $\dfrac{81}{17}$, $\dfrac{90}{17}$, $\dfrac{99}{17}$ и $\dfrac{108}{17}$ отмечено на числовой прямой точкой A. Какое это число?

1)$\dfrac{81}{17}$
2)$\dfrac{90}{17}$
3)$\dfrac{99}{17}$
4)$\dfrac{108}{17}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$5<A<5{,}5$

Сначала определяем цену деления. Указанные границы описывают область, где стоит точка, а не её точную координату.

$4{,}76<\dfrac{81}{17}<4{,}77$

$5{,}29<\dfrac{90}{17}<5{,}3$

$5{,}82<\dfrac{99}{17}<5{,}83$

$6{,}35<\dfrac{108}{17}<6{,}36$

Для дробей делим с остатком. Для корней сравниваем квадраты сотых. Строгие оценки позволяют различить близкие варианты.

$5<\dfrac{90}{17}<5{,}5$

Среди четырёх вариантов только эта дробь попадает в отмеченную область.

Ответ 2) $\dfrac{90}{17}$

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Определи цену деления по подписанным отметкам. Если рядом несколько вариантов, оцени их точнее, а не округляй до целых.

Задача 23

Тип 7

Условие

На координатной прямой отмечены точки $A$, $B$, $C$, $D$. Одна из них соответствует числу $\dfrac{58}{7}$. Какая это точка?

1)$A$
2)$B$
3)$C$
4)$D$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\dfrac{58}{7}=8+\dfrac{2}{7}$

$8{,}28<\dfrac{58}{7}<8{,}29$

Сначала находим целую часть, затем делим остаток на знаменатель до сотых. Знак приближения не подменяем равенством.

$A:\quad 7< A <7{,}5$

$B:\quad 7{,}5< B <8$

$C:\quad 8< C <8{,}5$

$D:\quad 8{,}5< D <9$

Мысленно отмечаем середины единичных отрезков и определяем, в какой половине находится каждая точка. Это границы областей, а не точные координаты точек.

$8{,}28<\dfrac{58}{7}<8{,}29$

Число попадает в область точки C. Остальные точки находятся в других областях.

Ответ 3) $C$

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Сначала проверь целую часть, затем положение внутри единичного отрезка. Точка за следующей целой отметкой не подходит.

Задача 24

Тип 8

Условие

На координатной прямой отмечены точки $A$, $B$, $C$, $D$. Одна из них соответствует числу $\sqrt{45}$. Какая это точка?

1)точка $A$
2)точка $B$
3)точка $C$
4)точка $D$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$6{,}7^2=44{,}89$

$6{,}71^2=45{,}0241$

$44{,}89<45<45{,}0241$

$6{,}7<\sqrt{45}<6{,}71$

Сравнение квадратов даёт оценку до сотых, не требуя вычислять корень точно.

$A:\quad 6< A <6{,}5$

$B:\quad 6{,}5< B <7$

$C:\quad 7< C <7{,}5$

$D:\quad 7{,}5< D <8$

Мысленно отмечаем середины единичных отрезков и определяем, в какой половине находится каждая точка. Это границы областей, а не точные координаты точек.

$6{,}7<\sqrt{45}<6{,}71$

Число попадает в область точки B. Остальные точки находятся в других областях.

Ответ 2) точка $B$

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Сначала проверь целую часть, затем положение внутри единичного отрезка. Точка за следующей целой отметкой не подходит.

Задача 25

Тип 9

Условие

На координатной прямой отмечены числа $x$ и $y$. Какое из следующих неравенств верно?

1)$xy > 0$
2)$x^2y < 0$
3)$x + y < 0$
4)$x - y \ge 0$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$x<0<y$

$|x|>|y|$

Точка слева от нуля задаёт отрицательное число. По расстояниям от нуля сравниваем модули; точные координаты не нужны.

$xy<0$

Квадрат ненулевого числа положителен. Знак произведения зависит от количества отрицательных множителей в нечётной степени. Указанное в варианте неравенство неверно.

$x^2y>0$

Квадрат ненулевого числа положителен. Знак произведения зависит от количества отрицательных множителей в нечётной степени. Указанное в варианте неравенство неверно.

$x + y<0$

При разных знаках знак суммы совпадает со знаком числа с большим модулем. Указанное в варианте неравенство верно.

$x - y<0$

Разность отрицательна, если уменьшаемое левее вычитаемого, и положительна, если правее. Указанное в варианте неравенство неверно.

Ответ 3) $x + y < 0$

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Квадрат отрицательного числа положителен. Для суммы чисел разных знаков нужно сравнить модули, а не только знаки.

Задача 26

Тип 10

Условие

На координатной прямой отмечено число $a$. Какое из утверждений для этого числа является верным?

1)$4 - a < 0$
2)$a - 7 > 0$
3)$a - 5 < 0$
4)$6 - a > 0$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$6<a<7$

Между отметками 0 и 1 один единичный отрезок. Отсчитываем деления и находим соседние целые для точки a.

$4-a<0$

Из границ видно, что a больше 4. Вариант верен.

$a-7<0$

Из границ видно, что a меньше 7. Знак в варианте указан неверно.

$a-5>0$

Из границ видно, что a больше 5. Знак в варианте указан неверно.

$6-a<0$

Из границ видно, что a больше 6. Знак в варианте указан неверно.

Ответ 1) $4 - a < 0$

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Разность a − n и разность n − a имеют противоположные знаки. Сначала установи порядок этих двух чисел.

Задача 27

Тип 11

Условие

На координатной прямой отмечены числа $x$, $y$ и $z$. Какая из разностей $y - x$, $x - z$, $z - y$ отрицательна?

1)$y - x$
2)$x - z$
3)$z - y$
4)ни одна из них

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$x<y<z$

Чем правее точка на координатной прямой, тем больше соответствующее число.

$y-x>0$

Число y правее числа x, поэтому разность положительна.

$x-z<0$

Число x левее числа z, поэтому разность отрицательна.

$z-y>0$

Число z правее числа y, поэтому разность положительна.

Ответ 2) $x - z$

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Знак разности определяется порядком уменьшаемого и вычитаемого. Координаты точек вычислять не нужно.

Задача 28

Тип 12

Условие

На координатной прямой отмечены числа $a$, $b$ и $c$. Какая из разностей $a - b$, $a - c$, $c - b$ положительна?

1)$a - b$
2)$a - c$
3)$c - b$
4)ни одна из них

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$a<b<c$

Чем правее точка на координатной прямой, тем больше соответствующее число.

$a-b<0$

Число a левее числа b, поэтому разность отрицательна.

$a-c<0$

Число a левее числа c, поэтому разность отрицательна.

$c-b>0$

Число c правее числа b, поэтому разность положительна.

Ответ 3) $c - b$

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Знак разности определяется порядком уменьшаемого и вычитаемого. Координаты точек вычислять не нужно.

Задача 29

Тип 13

Условие

На координатной прямой точки $A$, $B$, $C$ и $D$ соответствуют числам $0,29$; $-0,02$; $0,109$; $0,013$. Какой точке соответствует число $0,109$?

1)$A$
2)$B$
3)$C$
4)$D$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$0{,}29=\dfrac{290}{1000}$

$-0{,}02=\dfrac{-20}{1000}$

$0{,}109=\dfrac{109}{1000}$

$0{,}013=\dfrac{13}{1000}$

У всех дробей положительный знаменатель 1000; сравниваем целые числители, учитывая знак.

$-0{,}02<0{,}013<0{,}109<0{,}29$

Отрицательные числа левее положительных. Из отрицательных меньше то, у которого модуль больше.

$A=-0{,}02$

$B=0{,}013$

$C=0{,}109$

$D=0{,}29$

На рисунке точки идут в порядке A, B, C, D. Числу 0,109 соответствует точка C.

Ответ 3) $C$

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: У отрицательных чисел больший модуль означает меньшее число. Нули в конце десятичной записи не меняют значение.

Задача 30

Тип 14

Условие

Одно из чисел $\sqrt{41}$, $\sqrt{48}$, $\sqrt{53}$, $\sqrt{63}$ отмечено на прямой точкой A. Какое это число?

1)$\sqrt{41}$
2)$\sqrt{48}$
3)$\sqrt{53}$
4)$\sqrt{63}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$7<A<7{,}5$

Сначала определяем цену деления. Указанные границы описывают область, где стоит точка, а не её точную координату.

$6{,}4<\sqrt{41}<6{,}41$

$6{,}92<\sqrt{48}<6{,}93$

$7{,}28<\sqrt{53}<7{,}29$

$7{,}93<\sqrt{63}<7{,}94$

Для дробей делим с остатком. Для корней сравниваем квадраты сотых. Строгие оценки позволяют различить близкие варианты.

$7^2=49$

$7{,}5^2=56{,}25$

$49<53<56{,}25$

$7<\sqrt{53}<7{,}5$

Только этот корень попадает в область точки A на рисунке.

Ответ 3) $\sqrt{53}$

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Определи цену деления по подписанным отметкам. Если рядом несколько вариантов, оцени их точнее, а не округляй до целых.

Задача 31

Тип 15

Условие

Какое из чисел $\sqrt{5}$, $\sqrt{6}$, $\sqrt{23}$ и $\sqrt{31}$ принадлежит промежутку [5; 6]?

1)$\sqrt{5}$
2)$\sqrt{6}$
3)$\sqrt{23}$
4)$\sqrt{31}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$5^2=25$

$6^2=36$

Квадратный корень возрастает: проверяем подкоренные числа между квадратами границ.

$5<25$

$6<25$

$23<25$

$31\in[25;36]$

В квадратный промежуток попадает только одно подкоренное число.

$5<\sqrt{31}<6$

Выбираем соответствующий корень, а в ответ записываем номер варианта.

Ответ 4) $\sqrt{31}$

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Сравнивай точные значения и границы промежутков. Округление может перенести число в соседний промежуток.

Задача 32

Тип 16

Условие

Какому из данных промежутков принадлежит число $\dfrac{2}{7}$?

1)[0,1; 0,2]
2)[0,2; 0,3]
3)[0,3; 0,4]
4)[0,4; 0,5]

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$2\cdot100=200$

$200=7\cdot28+4$

$0{,}28<\dfrac{2}{7}<0{,}29$

Деление до сотых с остатком даёт нижнюю границу; следующая сотая даёт верхнюю. Это строгие границы, а не округлённое равенство.

$0{,}2<\dfrac{2}{7}<0{,}3$

Дробь находится внутри этого промежутка. Квадратные скобки также включают его концы.

Ответ 2) [0,2; 0,3]

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Сравнивай точные значения и границы промежутков. Округление может перенести число в соседний промежуток.

Задача 33

Тип 1

Условие

Между какими целыми числами заключено число $\dfrac{110}{13}$?

1)8 и 9
2)9 и 10
3)10 и 11
4)11 и 12

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$110=13\cdot 8+6$

$\dfrac{110}{13}=8+\dfrac{6}{13}$

Целая часть равна 8, остаток 6 положителен и меньше 13. Поэтому дробная часть больше нуля и меньше единицы.

$8<\dfrac{110}{13}<9$

Число находится строго между целой частью и следующим целым числом.

Ответ 1) 8 и 9

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Сравнивай точные значения и границы промежутков. Округление может перенести число в соседний промежуток.

Задача 34

Тип 2

Условие

Одно из чисел $\dfrac{2}{23}$, $\dfrac{3}{23}$, $\dfrac{5}{23}$ и $\dfrac{11}{23}$ отмечено на числовой прямой точкой A. Какое это число?

1)$\dfrac{2}{23}$
2)$\dfrac{3}{23}$
3)$\dfrac{5}{23}$
4)$\dfrac{11}{23}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$0<A<0{,}1$

Сначала определяем цену деления. Указанные границы описывают область, где стоит точка, а не её точную координату.

$0{,}08<\dfrac{2}{23}<0{,}09$

$0{,}13<\dfrac{3}{23}<0{,}14$

$0{,}21<\dfrac{5}{23}<0{,}22$

$0{,}47<\dfrac{11}{23}<0{,}48$

Для дробей делим с остатком. Для корней сравниваем квадраты сотых. Строгие оценки позволяют различить близкие варианты.

$0<\dfrac{2}{23}<0{,}1$

Среди четырёх вариантов только эта дробь попадает в отмеченную область.

Ответ 1) $\dfrac{2}{23}$

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Определи цену деления по подписанным отметкам. Если рядом несколько вариантов, оцени их точнее, а не округляй до целых.

Задача 35

Тип 3

Условие

Какое из чисел $\dfrac{47}{14}$, $\dfrac{57}{14}$, $\dfrac{61}{14}$ и $\dfrac{65}{14}$ принадлежит отрезку $[3; 4]$?

1)$\dfrac{47}{14}$
2)$\dfrac{57}{14}$
3)$\dfrac{61}{14}$
4)$\dfrac{65}{14}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\dfrac{47}{14}=3+\dfrac{5}{14}$

$\dfrac{57}{14}=4+\dfrac{1}{14}$

$\dfrac{61}{14}=4+\dfrac{5}{14}$

$\dfrac{65}{14}=4+\dfrac{9}{14}$

Нужен отрезок от 3 до 4. Целая часть помогает отсеять дроби вне него; отдельно учитываем включённые концы.

$3<\dfrac{47}{14}<4$

Только эта дробь лежит между указанными границами.

Ответ 1) $\dfrac{47}{14}$

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Сравнивай точные значения и границы промежутков. Округление может перенести число в соседний промежуток.

Задача 36

Тип 4

Условие

Между какими числами заключено число $\sqrt{57}$?

1)3 и 4
2)7 и 8
3)28 и 29
4)56 и 58

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$7^2=49$

$8^2=64$

$49<57<64$

Подкоренное число лежит строго между квадратами двух соседних целых чисел.

$7<\sqrt{57}<8$

На неотрицательных числах извлечение корня сохраняет порядок.

Ответ 2) 7 и 8

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Сравнивай точные значения и границы промежутков. Округление может перенести число в соседний промежуток.

Задача 37

Тип 5

Условие

Какое из следующих чисел заключено между числами $\dfrac{4}{11}$ и $\dfrac{7}{17}$?

1)0,1
2)0,2
3)0,3
4)0,4

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\dfrac{4}{11}=\dfrac{340}{935}$

$0{,}4=\dfrac{374}{935}$

$\dfrac{7}{17}=\dfrac{385}{935}$

Приводим все три числа к положительному общему знаменателю 935. Так сравнение не зависит от округления.

$340<374<385$

$\dfrac{4}{11}<0{,}4<\dfrac{7}{17}$

Числитель выбранного числа находится строго между двумя другими. Остальные варианты за эти границы не попадают.

Ответ 4) 0,4

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Сравнивай точные значения и границы промежутков. Округление может перенести число в соседний промежуток.

Задача 38

Тип 6

Условие

Одно из чисел $\dfrac{58}{13}$, $\dfrac{69}{13}$, $\dfrac{76}{13}$ и $\dfrac{83}{13}$ отмечено на числовой прямой точкой A. Какое это число?

1)$\dfrac{58}{13}$
2)$\dfrac{69}{13}$
3)$\dfrac{76}{13}$
4)$\dfrac{83}{13}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$5{,}5<A<6$

Сначала определяем цену деления. Указанные границы описывают область, где стоит точка, а не её точную координату.

$4{,}46<\dfrac{58}{13}<4{,}47$

$5{,}3<\dfrac{69}{13}<5{,}31$

$5{,}84<\dfrac{76}{13}<5{,}85$

$6{,}38<\dfrac{83}{13}<6{,}39$

Для дробей делим с остатком. Для корней сравниваем квадраты сотых. Строгие оценки позволяют различить близкие варианты.

$5{,}5<\dfrac{76}{13}<6$

Среди четырёх вариантов только эта дробь попадает в отмеченную область.

Ответ 3) $\dfrac{76}{13}$

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Определи цену деления по подписанным отметкам. Если рядом несколько вариантов, оцени их точнее, а не округляй до целых.

Задача 39

Тип 7

Условие

На координатной прямой отмечены точки $A$, $B$, $C$, $D$. Одна из них соответствует числу $\dfrac{92}{9}$. Какая это точка?

1)$A$
2)$B$
3)$C$
4)$D$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\dfrac{92}{9}=10+\dfrac{2}{9}$

$10{,}22<\dfrac{92}{9}<10{,}23$

Сначала находим целую часть, затем делим остаток на знаменатель до сотых. Знак приближения не подменяем равенством.

$A:\quad 9< A <9{,}5$

$B:\quad 9{,}5< B <10$

$C:\quad 10< C <10{,}5$

$D:\quad 10{,}5< D <11$

Мысленно отмечаем середины единичных отрезков и определяем, в какой половине находится каждая точка. Это границы областей, а не точные координаты точек.

$10{,}22<\dfrac{92}{9}<10{,}23$

Число попадает в область точки C. Остальные точки находятся в других областях.

Ответ 3) $C$

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Сначала проверь целую часть, затем положение внутри единичного отрезка. Точка за следующей целой отметкой не подходит.

Задача 40

Тип 8

Условие

На координатной прямой отмечены точки $A$, $B$, $C$, $D$. Одна из них соответствует числу $\sqrt{68}$. Какая это точка?

1)точка $A$
2)точка $B$
3)точка $C$
4)точка $D$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$8{,}24^2=67{,}8976$

$8{,}25^2=68{,}0625$

$67{,}8976<68<68{,}0625$

$8{,}24<\sqrt{68}<8{,}25$

Сравнение квадратов даёт оценку до сотых, не требуя вычислять корень точно.

$A:\quad 7< A <7{,}5$

$B:\quad 7{,}5< B <8$

$C:\quad 8< C <8{,}5$

$D:\quad 8{,}5< D <9$

Мысленно отмечаем середины единичных отрезков и определяем, в какой половине находится каждая точка. Это границы областей, а не точные координаты точек.

$8{,}24<\sqrt{68}<8{,}25$

Число попадает в область точки C. Остальные точки находятся в других областях.

Ответ 3) точка $C$

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Сначала проверь целую часть, затем положение внутри единичного отрезка. Точка за следующей целой отметкой не подходит.

Задача 41

Тип 9

Условие

На координатной прямой отмечены числа $a$ и $b$. Какое из следующих неравенств верно?

1)$ab^2 > 0$
2)$a - b < 0$
3)$a + b > 0$
4)$ab > 0$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$b<0<a$

$|b|>|a|$

Точка слева от нуля задаёт отрицательное число. По расстояниям от нуля сравниваем модули; точные координаты не нужны.

$ab^2>0$

Квадрат ненулевого числа положителен. Знак произведения зависит от количества отрицательных множителей в нечётной степени. Указанное в варианте неравенство верно.

$a - b>0$

Разность отрицательна, если уменьшаемое левее вычитаемого, и положительна, если правее. Указанное в варианте неравенство неверно.

$a + b<0$

При разных знаках знак суммы совпадает со знаком числа с большим модулем. Указанное в варианте неравенство неверно.

$ab<0$

Квадрат ненулевого числа положителен. Знак произведения зависит от количества отрицательных множителей в нечётной степени. Указанное в варианте неравенство неверно.

Ответ 1) $ab^2 > 0$

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Квадрат отрицательного числа положителен. Для суммы чисел разных знаков нужно сравнить модули, а не только знаки.

Задача 42

Тип 10

Условие

На координатной прямой отмечено число $a$. Какое из утверждений для этого числа является верным?

1)$5 - a > 0$
2)$7 - a < 0$
3)$a - 7 < 0$
4)$a - 8 > 0$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$5<a<6$

Между отметками 0 и 1 один единичный отрезок. Отсчитываем деления и находим соседние целые для точки a.

$5-a<0$

Из границ видно, что a больше 5. Знак в варианте указан неверно.

$7-a>0$

Из границ видно, что a меньше 7. Знак в варианте указан неверно.

$a-7<0$

Из границ видно, что a меньше 7. Вариант верен.

$a-8<0$

Из границ видно, что a меньше 8. Знак в варианте указан неверно.

Ответ 3) $a - 7 < 0$

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Разность a − n и разность n − a имеют противоположные знаки. Сначала установи порядок этих двух чисел.

Задача 43

Тип 11

Условие

На координатной прямой отмечены числа $x$, $y$ и $z$. Какая из разностей $z - x$, $y - z$, $x - y$ отрицательна?

1)$z - x$
2)$y - z$
3)$x - y$
4)ни одна из них

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$z<y<x$

Чем правее точка на координатной прямой, тем больше соответствующее число.

$z-x<0$

Число z левее числа x, поэтому разность отрицательна.

$y-z>0$

Число y правее числа z, поэтому разность положительна.

$x-y>0$

Число x правее числа y, поэтому разность положительна.

Ответ 1) $z - x$

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Знак разности определяется порядком уменьшаемого и вычитаемого. Координаты точек вычислять не нужно.

Задача 44

Тип 12

Условие

На координатной прямой отмечены числа $a$, $b$ и $c$. Какая из разностей $a - b$, $c - a$, $b - c$ положительна?

1)$a - b$
2)$c - a$
3)$b - c$
4)ни одна из них

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$a<b<c$

Чем правее точка на координатной прямой, тем больше соответствующее число.

$a-b<0$

Число a левее числа b, поэтому разность отрицательна.

$c-a>0$

Число c правее числа a, поэтому разность положительна.

$b-c<0$

Число b левее числа c, поэтому разность отрицательна.

Ответ 2) $c - a$

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Знак разности определяется порядком уменьшаемого и вычитаемого. Координаты точек вычислять не нужно.

Задача 45

Тип 13

Условие

На координатной прямой точки $A$, $B$, $C$ и $D$ соответствуют числам $0,271$; $-0,112$; $0,041$; $-0,267$. Какой точке соответствует число $0,271$?

1)$A$
2)$B$
3)$C$
4)$D$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$0{,}271=\dfrac{271}{1000}$

$-0{,}112=\dfrac{-112}{1000}$

$0{,}041=\dfrac{41}{1000}$

$-0{,}267=\dfrac{-267}{1000}$

У всех дробей положительный знаменатель 1000; сравниваем целые числители, учитывая знак.

$-0{,}267<-0{,}112<0{,}041<0{,}271$

Отрицательные числа левее положительных. Из отрицательных меньше то, у которого модуль больше.

$A=-0{,}267$

$B=-0{,}112$

$C=0{,}041$

$D=0{,}271$

На рисунке точки идут в порядке A, B, C, D. Числу 0,271 соответствует точка D.

Ответ 4) $D$

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: У отрицательных чисел больший модуль означает меньшее число. Нули в конце десятичной записи не меняют значение.

Задача 46

Тип 14

Условие

Одно из чисел $\sqrt{29}$, $\sqrt{33}$, $\sqrt{39}$, $\sqrt{44}$ отмечено на прямой точкой A. Какое это число?

1)$\sqrt{29}$
2)$\sqrt{33}$
3)$\sqrt{39}$
4)$\sqrt{44}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$6{,}5<A<7$

Сначала определяем цену деления. Указанные границы описывают область, где стоит точка, а не её точную координату.

$5{,}38<\sqrt{29}<5{,}39$

$5{,}74<\sqrt{33}<5{,}75$

$6{,}24<\sqrt{39}<6{,}25$

$6{,}63<\sqrt{44}<6{,}64$

Для дробей делим с остатком. Для корней сравниваем квадраты сотых. Строгие оценки позволяют различить близкие варианты.

$6{,}5^2=42{,}25$

$7^2=49$

$42{,}25<44<49$

$6{,}5<\sqrt{44}<7$

Только этот корень попадает в область точки A на рисунке.

Ответ 4) $\sqrt{44}$

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Определи цену деления по подписанным отметкам. Если рядом несколько вариантов, оцени их точнее, а не округляй до целых.

Задача 47

Тип 15

Условие

Какое из чисел $\sqrt{5}$, $\sqrt{6}$, $\sqrt{24}$ и $\sqrt{32}$ принадлежит промежутку [5; 6]?

1)$\sqrt{5}$
2)$\sqrt{6}$
3)$\sqrt{24}$
4)$\sqrt{32}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$5^2=25$

$6^2=36$

Квадратный корень возрастает: проверяем подкоренные числа между квадратами границ.

$5<25$

$6<25$

$24<25$

$32\in[25;36]$

В квадратный промежуток попадает только одно подкоренное число.

$5<\sqrt{32}<6$

Выбираем соответствующий корень, а в ответ записываем номер варианта.

Ответ 4) $\sqrt{32}$

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Сравнивай точные значения и границы промежутков. Округление может перенести число в соседний промежуток.

Задача 48

Тип 16

Условие

Какому из данных промежутков принадлежит число $\dfrac{5}{7}$?

1)[0,5; 0,6]
2)[0,6; 0,7]
3)[0,7; 0,8]
4)[0,8; 0,9]

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$5\cdot100=500$

$500=7\cdot71+3$

$0{,}71<\dfrac{5}{7}<0{,}72$

Деление до сотых с остатком даёт нижнюю границу; следующая сотая даёт верхнюю. Это строгие границы, а не округлённое равенство.

$0{,}7<\dfrac{5}{7}<0{,}8$

Дробь находится внутри этого промежутка. Квадратные скобки также включают его концы.

Ответ 3) [0,7; 0,8]

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Сравнивай точные значения и границы промежутков. Округление может перенести число в соседний промежуток.

Задача 49

Тип 1

Условие

Между какими целыми числами заключено число $\dfrac{172}{15}$?

1)9 и 10
2)10 и 11
3)11 и 12
4)12 и 13

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$172=15\cdot 11+7$

$\dfrac{172}{15}=11+\dfrac{7}{15}$

Целая часть равна 11, остаток 7 положителен и меньше 15. Поэтому дробная часть больше нуля и меньше единицы.

$11<\dfrac{172}{15}<12$

Число находится строго между целой частью и следующим целым числом.

Ответ 3) 11 и 12

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Сравнивай точные значения и границы промежутков. Округление может перенести число в соседний промежуток.

Задача 50

Тип 2

Условие

Одно из чисел $\dfrac{6}{23}$, $\dfrac{7}{23}$, $\dfrac{11}{23}$ и $\dfrac{12}{23}$ отмечено на числовой прямой точкой A. Какое это число?

1)$\dfrac{6}{23}$
2)$\dfrac{7}{23}$
3)$\dfrac{11}{23}$
4)$\dfrac{12}{23}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$0{,}4<A<0{,}5$

Сначала определяем цену деления. Указанные границы описывают область, где стоит точка, а не её точную координату.

$0{,}26<\dfrac{6}{23}<0{,}27$

$0{,}3<\dfrac{7}{23}<0{,}31$

$0{,}47<\dfrac{11}{23}<0{,}48$

$0{,}52<\dfrac{12}{23}<0{,}53$

Для дробей делим с остатком. Для корней сравниваем квадраты сотых. Строгие оценки позволяют различить близкие варианты.

$0{,}4<\dfrac{11}{23}<0{,}5$

Среди четырёх вариантов только эта дробь попадает в отмеченную область.

Ответ 3) $\dfrac{11}{23}$

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Определи цену деления по подписанным отметкам. Если рядом несколько вариантов, оцени их точнее, а не округляй до целых.

Задача 51

Тип 3

Условие

Какое из чисел $\dfrac{58}{9}$, $\dfrac{62}{9}$, $\dfrac{70}{9}$ и $\dfrac{79}{9}$ принадлежит отрезку $[7; 8]$?

1)$\dfrac{58}{9}$
2)$\dfrac{62}{9}$
3)$\dfrac{70}{9}$
4)$\dfrac{79}{9}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\dfrac{58}{9}=6+\dfrac{4}{9}$

$\dfrac{62}{9}=6+\dfrac{8}{9}$

$\dfrac{70}{9}=7+\dfrac{7}{9}$

$\dfrac{79}{9}=8+\dfrac{7}{9}$

Нужен отрезок от 7 до 8. Целая часть помогает отсеять дроби вне него; отдельно учитываем включённые концы.

$7<\dfrac{70}{9}<8$

Только эта дробь лежит между указанными границами.

Ответ 3) $\dfrac{70}{9}$

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Сравнивай точные значения и границы промежутков. Округление может перенести число в соседний промежуток.

Задача 52

Тип 4

Условие

Между какими числами заключено число $\sqrt{98}$?

1)4 и 5
2)9 и 10
3)31 и 33
4)97 и 99

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$9^2=81$

$10^2=100$

$81<98<100$

Подкоренное число лежит строго между квадратами двух соседних целых чисел.

$9<\sqrt{98}<10$

На неотрицательных числах извлечение корня сохраняет порядок.

Ответ 2) 9 и 10

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Сравнивай точные значения и границы промежутков. Округление может перенести число в соседний промежуток.

Задача 53

Тип 5

Условие

Какое из следующих чисел заключено между числами $\dfrac{19}{8}$ и $\dfrac{17}{7}$?

1)2,3
2)2,4
3)2,5
4)2,6

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\dfrac{19}{8}=\dfrac{665}{280}$

$2{,}4=\dfrac{672}{280}$

$\dfrac{17}{7}=\dfrac{680}{280}$

Приводим все три числа к положительному общему знаменателю 280. Так сравнение не зависит от округления.

$665<672<680$

$\dfrac{19}{8}<2{,}4<\dfrac{17}{7}$

Числитель выбранного числа находится строго между двумя другими. Остальные варианты за эти границы не попадают.

Ответ 2) 2,4

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Сравнивай точные значения и границы промежутков. Округление может перенести число в соседний промежуток.

Задача 54

Тип 6

Условие

Одно из чисел $\dfrac{29}{9}$, $\dfrac{34}{9}$, $\dfrac{38}{9}$ и $\dfrac{43}{9}$ отмечено на числовой прямой точкой A. Какое это число?

1)$\dfrac{29}{9}$
2)$\dfrac{34}{9}$
3)$\dfrac{38}{9}$
4)$\dfrac{43}{9}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$3<A<3{,}5$

Сначала определяем цену деления. Указанные границы описывают область, где стоит точка, а не её точную координату.

$3{,}22<\dfrac{29}{9}<3{,}23$

$3{,}77<\dfrac{34}{9}<3{,}78$

$4{,}22<\dfrac{38}{9}<4{,}23$

$4{,}77<\dfrac{43}{9}<4{,}78$

Для дробей делим с остатком. Для корней сравниваем квадраты сотых. Строгие оценки позволяют различить близкие варианты.

$3<\dfrac{29}{9}<3{,}5$

Среди четырёх вариантов только эта дробь попадает в отмеченную область.

Ответ 1) $\dfrac{29}{9}$

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Определи цену деления по подписанным отметкам. Если рядом несколько вариантов, оцени их точнее, а не округляй до целых.

Задача 55

Тип 7

Условие

На координатной прямой отмечены точки $A$, $B$, $C$, $D$. Одна из них соответствует числу $\dfrac{107}{13}$. Какая это точка?

1)$A$
2)$B$
3)$C$
4)$D$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\dfrac{107}{13}=8+\dfrac{3}{13}$

$8{,}23<\dfrac{107}{13}<8{,}24$

Сначала находим целую часть, затем делим остаток на знаменатель до сотых. Знак приближения не подменяем равенством.

$A:\quad 8< A <8{,}5$

$B:\quad 8{,}5< B <9$

$C:\quad 9< C <9{,}5$

$D:\quad 9{,}5< D <10$

Мысленно отмечаем середины единичных отрезков и определяем, в какой половине находится каждая точка. Это границы областей, а не точные координаты точек.

$8{,}23<\dfrac{107}{13}<8{,}24$

Число попадает в область точки A. Остальные точки находятся в других областях.

Ответ 1) $A$

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Сначала проверь целую часть, затем положение внутри единичного отрезка. Точка за следующей целой отметкой не подходит.

Задача 56

Тип 8

Условие

На координатной прямой отмечены точки $A$, $B$, $C$, $D$. Одна из них соответствует числу $\sqrt{33}$. Какая это точка?

1)точка $A$
2)точка $B$
3)точка $C$
4)точка $D$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$5{,}74^2=32{,}9476$

$5{,}75^2=33{,}0625$

$32{,}9476<33<33{,}0625$

$5{,}74<\sqrt{33}<5{,}75$

Сравнение квадратов даёт оценку до сотых, не требуя вычислять корень точно.

$A:\quad 4< A <4{,}5$

$B:\quad 4{,}5< B <5$

$C:\quad 5< C <5{,}5$

$D:\quad 5{,}5< D <6$

Мысленно отмечаем середины единичных отрезков и определяем, в какой половине находится каждая точка. Это границы областей, а не точные координаты точек.

$5{,}74<\sqrt{33}<5{,}75$

Число попадает в область точки D. Остальные точки находятся в других областях.

Ответ 4) точка $D$

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Сначала проверь целую часть, затем положение внутри единичного отрезка. Точка за следующей целой отметкой не подходит.

Задача 57

Тип 9

Условие

На координатной прямой отмечены числа $a$ и $b$. Какое из следующих неравенств верно?

1)$a + b < 0$
2)$b - a < 0$
3)$ab < 0$
4)$ab^2 > 0$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$a<0<b$

$|b|>|a|$

Точка слева от нуля задаёт отрицательное число. По расстояниям от нуля сравниваем модули; точные координаты не нужны.

$a + b>0$

При разных знаках знак суммы совпадает со знаком числа с большим модулем. Указанное в варианте неравенство неверно.

$b - a>0$

Разность отрицательна, если уменьшаемое левее вычитаемого, и положительна, если правее. Указанное в варианте неравенство неверно.

$ab<0$

Квадрат ненулевого числа положителен. Знак произведения зависит от количества отрицательных множителей в нечётной степени. Указанное в варианте неравенство верно.

$ab^2<0$

Квадрат ненулевого числа положителен. Знак произведения зависит от количества отрицательных множителей в нечётной степени. Указанное в варианте неравенство неверно.

Ответ 3) $ab < 0$

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Квадрат отрицательного числа положителен. Для суммы чисел разных знаков нужно сравнить модули, а не только знаки.

Задача 58

Тип 10

Условие

На координатной прямой отмечено число $a$. Какое из утверждений для этого числа является верным?

1)$a - 6 < 0$
2)$a - 7 > 0$
3)$6 - a > 0$
4)$8 - a < 0$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$7<a<8$

Между отметками 0 и 1 один единичный отрезок. Отсчитываем деления и находим соседние целые для точки a.

$a-6>0$

Из границ видно, что a больше 6. Знак в варианте указан неверно.

$a-7>0$

Из границ видно, что a больше 7. Вариант верен.

$6-a<0$

Из границ видно, что a больше 6. Знак в варианте указан неверно.

$8-a>0$

Из границ видно, что a меньше 8. Знак в варианте указан неверно.

Ответ 2) $a - 7 > 0$

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Разность a − n и разность n − a имеют противоположные знаки. Сначала установи порядок этих двух чисел.

Задача 59

Тип 11

Условие

На координатной прямой отмечены числа $a$, $b$ и $c$. Какая из разностей $a - b$, $a - c$, $c - b$ отрицательна?

1)$a - b$
2)$a - c$
3)$c - b$
4)ни одна из них

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$c<b<a$

Чем правее точка на координатной прямой, тем больше соответствующее число.

$a-b>0$

Число a правее числа b, поэтому разность положительна.

$a-c>0$

Число a правее числа c, поэтому разность положительна.

$c-b<0$

Число c левее числа b, поэтому разность отрицательна.

Ответ 3) $c - b$

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Знак разности определяется порядком уменьшаемого и вычитаемого. Координаты точек вычислять не нужно.

Задача 60

Тип 12

Условие

На координатной прямой отмечены числа $a$, $b$ и $c$. Какая из разностей $b - a$, $c - b$, $c - a$ положительна?

1)$b - a$
2)$c - b$
3)$c - a$
4)ни одна из них

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$c<b<a$

Чем правее точка на координатной прямой, тем больше соответствующее число.

$b-a<0$

Число b левее числа a, поэтому разность отрицательна.

$c-b<0$

Число c левее числа b, поэтому разность отрицательна.

$c-a<0$

Число c левее числа a, поэтому разность отрицательна.

Ни одна из трёх разностей не имеет требуемого знака. Выбираем «ни одна из них».

Ответ 4) ни одна из них

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Знак разности определяется порядком уменьшаемого и вычитаемого. Координаты точек вычислять не нужно.

Задача 61

Тип 13

Условие

На координатной прямой точки $A$, $B$, $C$ и $D$ соответствуют числам $-0,032$; $0,023$; $0,302$; $-0,203$. Какой точке соответствует число $-0,203$?

1)$A$
2)$B$
3)$C$
4)$D$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$-0{,}032=\dfrac{-32}{1000}$

$0{,}023=\dfrac{23}{1000}$

$0{,}302=\dfrac{302}{1000}$

$-0{,}203=\dfrac{-203}{1000}$

У всех дробей положительный знаменатель 1000; сравниваем целые числители, учитывая знак.

$-0{,}203<-0{,}032<0{,}023<0{,}302$

Отрицательные числа левее положительных. Из отрицательных меньше то, у которого модуль больше.

$A=-0{,}203$

$B=-0{,}032$

$C=0{,}023$

$D=0{,}302$

На рисунке точки идут в порядке A, B, C, D. Числу -0,203 соответствует точка A.

Ответ 1) $A$

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: У отрицательных чисел больший модуль означает меньшее число. Нули в конце десятичной записи не меняют значение.

Задача 62

Тип 14

Условие

Одно из чисел $\sqrt{28}$, $\sqrt{32}$, $\sqrt{39}$, $\sqrt{47}$ отмечено на прямой точкой A. Какое это число?

1)$\sqrt{28}$
2)$\sqrt{32}$
3)$\sqrt{39}$
4)$\sqrt{47}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$5<A<5{,}5$

Сначала определяем цену деления. Указанные границы описывают область, где стоит точка, а не её точную координату.

$5{,}29<\sqrt{28}<5{,}3$

$5{,}65<\sqrt{32}<5{,}66$

$6{,}24<\sqrt{39}<6{,}25$

$6{,}85<\sqrt{47}<6{,}86$

Для дробей делим с остатком. Для корней сравниваем квадраты сотых. Строгие оценки позволяют различить близкие варианты.

$5^2=25$

$5{,}5^2=30{,}25$

$25<28<30{,}25$

$5<\sqrt{28}<5{,}5$

Только этот корень попадает в область точки A на рисунке.

Ответ 1) $\sqrt{28}$

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Определи цену деления по подписанным отметкам. Если рядом несколько вариантов, оцени их точнее, а не округляй до целых.

Задача 63

Тип 15

Условие

Какое из чисел $\sqrt{7}$, $\sqrt{8}$, $\sqrt{62}$ и $\sqrt{72}$ принадлежит промежутку [7; 8]?

1)$\sqrt{7}$
2)$\sqrt{8}$
3)$\sqrt{62}$
4)$\sqrt{72}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$7^2=49$

$8^2=64$

Квадратный корень возрастает: проверяем подкоренные числа между квадратами границ.

$7<49$

$8<49$

$62\in[49;64]$

$72>64$

В квадратный промежуток попадает только одно подкоренное число.

$7<\sqrt{62}<8$

Выбираем соответствующий корень, а в ответ записываем номер варианта.

Ответ 3) $\sqrt{62}$

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Сравнивай точные значения и границы промежутков. Округление может перенести число в соседний промежуток.

Задача 64

Тип 16

Условие

Какому из данных промежутков принадлежит число $\dfrac{2}{9}$?

1)[0,1; 0,2]
2)[0,2; 0,3]
3)[0,3; 0,4]
4)[0,4; 0,5]

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$2\cdot100=200$

$200=9\cdot22+2$

$0{,}22<\dfrac{2}{9}<0{,}23$

Деление до сотых с остатком даёт нижнюю границу; следующая сотая даёт верхнюю. Это строгие границы, а не округлённое равенство.

$0{,}2<\dfrac{2}{9}<0{,}3$

Дробь находится внутри этого промежутка. Квадратные скобки также включают его концы.

Ответ 2) [0,2; 0,3]

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Сравнивай точные значения и границы промежутков. Округление может перенести число в соседний промежуток.

Задача 65

Тип 1

Условие

Между какими целыми числами заключено число $\dfrac{230}{19}$?

1)11 и 12
2)12 и 13
3)13 и 14
4)14 и 15

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$230=19\cdot 12+2$

$\dfrac{230}{19}=12+\dfrac{2}{19}$

Целая часть равна 12, остаток 2 положителен и меньше 19. Поэтому дробная часть больше нуля и меньше единицы.

$12<\dfrac{230}{19}<13$

Число находится строго между целой частью и следующим целым числом.

Ответ 2) 12 и 13

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Сравнивай точные значения и границы промежутков. Округление может перенести число в соседний промежуток.

Задача 66

Тип 2

Условие

Одно из чисел $\dfrac{2}{17}$, $\dfrac{4}{17}$, $\dfrac{8}{17}$ и $\dfrac{9}{17}$ отмечено на числовой прямой точкой A. Какое это число?

1)$\dfrac{2}{17}$
2)$\dfrac{4}{17}$
3)$\dfrac{8}{17}$
4)$\dfrac{9}{17}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$0{,}5<A<0{,}6$

Сначала определяем цену деления. Указанные границы описывают область, где стоит точка, а не её точную координату.

$0{,}11<\dfrac{2}{17}<0{,}12$

$0{,}23<\dfrac{4}{17}<0{,}24$

$0{,}47<\dfrac{8}{17}<0{,}48$

$0{,}52<\dfrac{9}{17}<0{,}53$

Для дробей делим с остатком. Для корней сравниваем квадраты сотых. Строгие оценки позволяют различить близкие варианты.

$0{,}5<\dfrac{9}{17}<0{,}6$

Среди четырёх вариантов только эта дробь попадает в отмеченную область.

Ответ 4) $\dfrac{9}{17}$

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Определи цену деления по подписанным отметкам. Если рядом несколько вариантов, оцени их точнее, а не округляй до целых.

Задача 67

Тип 3

Условие

Какое из чисел $\dfrac{68}{13}$, $\dfrac{79}{13}$, $\dfrac{82}{13}$ и $\dfrac{89}{13}$ принадлежит отрезку $[5; 6]$?

1)$\dfrac{68}{13}$
2)$\dfrac{79}{13}$
3)$\dfrac{82}{13}$
4)$\dfrac{89}{13}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\dfrac{68}{13}=5+\dfrac{3}{13}$

$\dfrac{79}{13}=6+\dfrac{1}{13}$

$\dfrac{82}{13}=6+\dfrac{4}{13}$

$\dfrac{89}{13}=6+\dfrac{11}{13}$

Нужен отрезок от 5 до 6. Целая часть помогает отсеять дроби вне него; отдельно учитываем включённые концы.

$5<\dfrac{68}{13}<6$

Только эта дробь лежит между указанными границами.

Ответ 1) $\dfrac{68}{13}$

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Сравнивай точные значения и границы промежутков. Округление может перенести число в соседний промежуток.

Задача 68

Тип 4

Условие

Между какими числами заключено число $\sqrt{60}$?

1)20 и 22
2)7 и 8
3)59 и 61
4)3 и 4

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$7^2=49$

$8^2=64$

$49<60<64$

Подкоренное число лежит строго между квадратами двух соседних целых чисел.

$7<\sqrt{60}<8$

На неотрицательных числах извлечение корня сохраняет порядок.

Ответ 2) 7 и 8

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Сравнивай точные значения и границы промежутков. Округление может перенести число в соседний промежуток.

Задача 69

Тип 5

Условие

Какое из следующих чисел заключено между числами $\dfrac{2}{17}$ и $\dfrac{4}{19}$?

1)0
2)0,1
3)0,2
4)0,3

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\dfrac{2}{17}=\dfrac{190}{1615}$

$0{,}2=\dfrac{323}{1615}$

$\dfrac{4}{19}=\dfrac{340}{1615}$

Приводим все три числа к положительному общему знаменателю 1615. Так сравнение не зависит от округления.

$190<323<340$

$\dfrac{2}{17}<0{,}2<\dfrac{4}{19}$

Числитель выбранного числа находится строго между двумя другими. Остальные варианты за эти границы не попадают.

Ответ 3) 0,2

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Сравнивай точные значения и границы промежутков. Округление может перенести число в соседний промежуток.

Задача 70

Тип 6

Условие

Одно из чисел $\dfrac{31}{11}$, $\dfrac{37}{11}$, $\dfrac{41}{11}$ и $\dfrac{47}{11}$ отмечено на числовой прямой точкой A. Какое это число?

1)$\dfrac{31}{11}$
2)$\dfrac{37}{11}$
3)$\dfrac{41}{11}$
4)$\dfrac{47}{11}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$2{,}5<A<3$

Сначала определяем цену деления. Указанные границы описывают область, где стоит точка, а не её точную координату.

$2{,}81<\dfrac{31}{11}<2{,}82$

$3{,}36<\dfrac{37}{11}<3{,}37$

$3{,}72<\dfrac{41}{11}<3{,}73$

$4{,}27<\dfrac{47}{11}<4{,}28$

Для дробей делим с остатком. Для корней сравниваем квадраты сотых. Строгие оценки позволяют различить близкие варианты.

$2{,}5<\dfrac{31}{11}<3$

Среди четырёх вариантов только эта дробь попадает в отмеченную область.

Ответ 1) $\dfrac{31}{11}$

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Определи цену деления по подписанным отметкам. Если рядом несколько вариантов, оцени их точнее, а не округляй до целых.

Задача 71

Тип 7

Условие

На координатной прямой отмечены точки $A$, $B$, $C$, $D$. Одна из них соответствует числу $\dfrac{116}{15}$. Какая это точка?

1)$A$
2)$B$
3)$C$
4)$D$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\dfrac{116}{15}=7+\dfrac{11}{15}$

$7{,}73<\dfrac{116}{15}<7{,}74$

Сначала находим целую часть, затем делим остаток на знаменатель до сотых. Знак приближения не подменяем равенством.

$A:\quad 6< A <6{,}5$

$B:\quad 6{,}5< B <7$

$C:\quad 7< C <7{,}5$

$D:\quad 7{,}5< D <8$

Мысленно отмечаем середины единичных отрезков и определяем, в какой половине находится каждая точка. Это границы областей, а не точные координаты точек.

$7{,}73<\dfrac{116}{15}<7{,}74$

Число попадает в область точки D. Остальные точки находятся в других областях.

Ответ 4) $D$

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Сначала проверь целую часть, затем положение внутри единичного отрезка. Точка за следующей целой отметкой не подходит.

Задача 72

Тип 8

Условие

На координатной прямой отмечены точки $A$, $B$, $C$, $D$. Одна из них соответствует числу $\sqrt{52}$. Какая это точка?

1)точка $A$
2)точка $B$
3)точка $C$
4)точка $D$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$7{,}21^2=51{,}9841$

$7{,}22^2=52{,}1284$

$51{,}9841<52<52{,}1284$

$7{,}21<\sqrt{52}<7{,}22$

Сравнение квадратов даёт оценку до сотых, не требуя вычислять корень точно.

$A:\quad 7< A <7{,}5$

$B:\quad 7{,}5< B <8$

$C:\quad 8< C <8{,}5$

$D:\quad 8{,}5< D <9$

Мысленно отмечаем середины единичных отрезков и определяем, в какой половине находится каждая точка. Это границы областей, а не точные координаты точек.

$7{,}21<\sqrt{52}<7{,}22$

Число попадает в область точки A. Остальные точки находятся в других областях.

Ответ 1) точка $A$

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Сначала проверь целую часть, затем положение внутри единичного отрезка. Точка за следующей целой отметкой не подходит.

Задача 73

Тип 9

Условие

На координатной прямой отмечены числа $a$ и $b$. Какое из следующих неравенств верно?

1)$a + b > 0$
2)$a^2b < 0$
3)$ab > 0$
4)$a - b < 0$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$b<0<a$

$|b|>|a|$

Точка слева от нуля задаёт отрицательное число. По расстояниям от нуля сравниваем модули; точные координаты не нужны.

$a + b<0$

При разных знаках знак суммы совпадает со знаком числа с большим модулем. Указанное в варианте неравенство неверно.

$a^2b<0$

Квадрат ненулевого числа положителен. Знак произведения зависит от количества отрицательных множителей в нечётной степени. Указанное в варианте неравенство верно.

$ab<0$

Квадрат ненулевого числа положителен. Знак произведения зависит от количества отрицательных множителей в нечётной степени. Указанное в варианте неравенство неверно.

$a - b>0$

Разность отрицательна, если уменьшаемое левее вычитаемого, и положительна, если правее. Указанное в варианте неравенство неверно.

Ответ 2) $a^2b < 0$

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Квадрат отрицательного числа положителен. Для суммы чисел разных знаков нужно сравнить модули, а не только знаки.

Задача 74

Тип 10

Условие

На координатной прямой отмечено число $a$. Какое из утверждений для этого числа является верным?

1)$7 - a > 0$
2)$a - 5 < 0$
3)$a - 8 > 0$
4)$6 - a < 0$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$7<a<8$

Между отметками 0 и 1 один единичный отрезок. Отсчитываем деления и находим соседние целые для точки a.

$7-a<0$

Из границ видно, что a больше 7. Знак в варианте указан неверно.

$a-5>0$

Из границ видно, что a больше 5. Знак в варианте указан неверно.

$a-8<0$

Из границ видно, что a меньше 8. Знак в варианте указан неверно.

$6-a<0$

Из границ видно, что a больше 6. Вариант верен.

Ответ 4) $6 - a < 0$

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Разность a − n и разность n − a имеют противоположные знаки. Сначала установи порядок этих двух чисел.

Задача 75

Тип 11

Условие

На координатной прямой отмечены числа $p$, $q$ и $r$. Какая из разностей $q - p$, $r - q$, $p - r$ отрицательна?

1)$q - p$
2)$r - q$
3)$p - r$
4)ни одна из них

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$p<q<r$

Чем правее точка на координатной прямой, тем больше соответствующее число.

$q-p>0$

Число q правее числа p, поэтому разность положительна.

$r-q>0$

Число r правее числа q, поэтому разность положительна.

$p-r<0$

Число p левее числа r, поэтому разность отрицательна.

Ответ 3) $p - r$

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Знак разности определяется порядком уменьшаемого и вычитаемого. Координаты точек вычислять не нужно.

Задача 76

Тип 12

Условие

На координатной прямой отмечены числа $p$, $q$ и $r$. Какая из разностей $q - p$, $q - r$, $r - p$ положительна?

1)$q - p$
2)$q - r$
3)$r - p$
4)ни одна из них

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$r<q<p$

Чем правее точка на координатной прямой, тем больше соответствующее число.

$q-p<0$

Число q левее числа p, поэтому разность отрицательна.

$q-r>0$

Число q правее числа r, поэтому разность положительна.

$r-p<0$

Число r левее числа p, поэтому разность отрицательна.

Ответ 2) $q - r$

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Знак разности определяется порядком уменьшаемого и вычитаемого. Координаты точек вычислять не нужно.

Задача 77

Тип 13

Условие

На координатной прямой точки $A$, $B$, $C$ и $D$ соответствуют числам $0,1032$; $-0,031$; $-0,01$; $-0,104$. Какой точке соответствует число $-0,031$?

1)$A$
2)$B$
3)$C$
4)$D$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$0{,}1032=\dfrac{1032}{10000}$

$-0{,}031=\dfrac{-310}{10000}$

$-0{,}01=\dfrac{-100}{10000}$

$-0{,}104=\dfrac{-1040}{10000}$

У всех дробей положительный знаменатель 10000; сравниваем целые числители, учитывая знак.

$-0{,}104<-0{,}031<-0{,}01<0{,}1032$

Отрицательные числа левее положительных. Из отрицательных меньше то, у которого модуль больше.

$A=-0{,}104$

$B=-0{,}031$

$C=-0{,}01$

$D=0{,}1032$

На рисунке точки идут в порядке A, B, C, D. Числу -0,031 соответствует точка B.

Ответ 2) $B$

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: У отрицательных чисел больший модуль означает меньшее число. Нули в конце десятичной записи не меняют значение.

Задача 78

Тип 14

Условие

Одно из чисел $\sqrt{40}$, $\sqrt{46}$, $\sqrt{53}$, $\sqrt{58}$ отмечено на прямой точкой A. Какое это число?

1)$\sqrt{40}$
2)$\sqrt{46}$
3)$\sqrt{53}$
4)$\sqrt{58}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$6{,}5<A<7$

Сначала определяем цену деления. Указанные границы описывают область, где стоит точка, а не её точную координату.

$6{,}32<\sqrt{40}<6{,}33$

$6{,}78<\sqrt{46}<6{,}79$

$7{,}28<\sqrt{53}<7{,}29$

$7{,}61<\sqrt{58}<7{,}62$

Для дробей делим с остатком. Для корней сравниваем квадраты сотых. Строгие оценки позволяют различить близкие варианты.

$6{,}5^2=42{,}25$

$7^2=49$

$42{,}25<46<49$

$6{,}5<\sqrt{46}<7$

Только этот корень попадает в область точки A на рисунке.

Ответ 2) $\sqrt{46}$

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Определи цену деления по подписанным отметкам. Если рядом несколько вариантов, оцени их точнее, а не округляй до целых.

Задача 79

Тип 15

Условие

Какое из чисел $\sqrt{6}$, $\sqrt{7}$, $\sqrt{38}$ и $\sqrt{50}$ принадлежит промежутку [6; 7]?

1)$\sqrt{6}$
2)$\sqrt{7}$
3)$\sqrt{38}$
4)$\sqrt{50}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$6^2=36$

$7^2=49$

Квадратный корень возрастает: проверяем подкоренные числа между квадратами границ.

$6<36$

$7<36$

$38\in[36;49]$

$50>49$

В квадратный промежуток попадает только одно подкоренное число.

$6<\sqrt{38}<7$

Выбираем соответствующий корень, а в ответ записываем номер варианта.

Ответ 3) $\sqrt{38}$

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Сравнивай точные значения и границы промежутков. Округление может перенести число в соседний промежуток.

Задача 80

Тип 16

Условие

Какому из данных промежутков принадлежит число $\dfrac{5}{9}$?

1)[0,5; 0,6]
2)[0,6; 0,7]
3)[0,7; 0,8]
4)[0,8; 0,9]

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$5\cdot100=500$

$500=9\cdot55+5$

$0{,}55<\dfrac{5}{9}<0{,}56$

Деление до сотых с остатком даёт нижнюю границу; следующая сотая даёт верхнюю. Это строгие границы, а не округлённое равенство.

$0{,}5<\dfrac{5}{9}<0{,}6$

Дробь находится внутри этого промежутка. Квадратные скобки также включают его концы.

Ответ 1) [0,5; 0,6]

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Сравнивай точные значения и границы промежутков. Округление может перенести число в соседний промежуток.

Задача 81

Тип 1

Условие

Между какими целыми числами заключено число $\dfrac{130}{11}$?

1)10 и 11
2)11 и 12
3)12 и 13
4)13 и 14

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$130=11\cdot 11+9$

$\dfrac{130}{11}=11+\dfrac{9}{11}$

Целая часть равна 11, остаток 9 положителен и меньше 11. Поэтому дробная часть больше нуля и меньше единицы.

$11<\dfrac{130}{11}<12$

Число находится строго между целой частью и следующим целым числом.

Ответ 2) 11 и 12

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Сравнивай точные значения и границы промежутков. Округление может перенести число в соседний промежуток.

Задача 82

Тип 2

Условие

Одно из чисел $\dfrac{4}{7}$, $\dfrac{6}{7}$, $\dfrac{8}{7}$ и $\dfrac{13}{7}$ отмечено на числовой прямой точкой A. Какое это число?

1)$\dfrac{4}{7}$
2)$\dfrac{6}{7}$
3)$\dfrac{8}{7}$
4)$\dfrac{13}{7}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$0{,}8<A<0{,}9$

Сначала определяем цену деления. Указанные границы описывают область, где стоит точка, а не её точную координату.

$0{,}57<\dfrac{4}{7}<0{,}58$

$0{,}85<\dfrac{6}{7}<0{,}86$

$1{,}14<\dfrac{8}{7}<1{,}15$

$1{,}85<\dfrac{13}{7}<1{,}86$

Для дробей делим с остатком. Для корней сравниваем квадраты сотых. Строгие оценки позволяют различить близкие варианты.

$0{,}8<\dfrac{6}{7}<0{,}9$

Среди четырёх вариантов только эта дробь попадает в отмеченную область.

Ответ 2) $\dfrac{6}{7}$

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Определи цену деления по подписанным отметкам. Если рядом несколько вариантов, оцени их точнее, а не округляй до целых.

Задача 83

Тип 3

Условие

Какое из чисел $\dfrac{68}{13}$, $\dfrac{82}{13}$, $\dfrac{92}{13}$ и $\dfrac{101}{13}$ принадлежит отрезку $[6; 7]$?

1)$\dfrac{68}{13}$
2)$\dfrac{82}{13}$
3)$\dfrac{92}{13}$
4)$\dfrac{101}{13}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\dfrac{68}{13}=5+\dfrac{3}{13}$

$\dfrac{82}{13}=6+\dfrac{4}{13}$

$\dfrac{92}{13}=7+\dfrac{1}{13}$

$\dfrac{101}{13}=7+\dfrac{10}{13}$

Нужен отрезок от 6 до 7. Целая часть помогает отсеять дроби вне него; отдельно учитываем включённые концы.

$6<\dfrac{82}{13}<7$

Только эта дробь лежит между указанными границами.

Ответ 2) $\dfrac{82}{13}$

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Сравнивай точные значения и границы промежутков. Округление может перенести число в соседний промежуток.

Задача 84

Тип 4

Условие

Между какими числами заключено число $\sqrt{83}$?

1)4 и 5
2)27 и 29
3)82 и 84
4)9 и 10

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$9^2=81$

$10^2=100$

$81<83<100$

Подкоренное число лежит строго между квадратами двух соседних целых чисел.

$9<\sqrt{83}<10$

На неотрицательных числах извлечение корня сохраняет порядок.

Ответ 4) 9 и 10

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Сравнивай точные значения и границы промежутков. Округление может перенести число в соседний промежуток.

Задача 85

Тип 5

Условие

Какое из следующих чисел заключено между числами $\dfrac{8}{13}$ и $\dfrac{12}{17}$?

1)0,6
2)0,7
3)0,8
4)0,9

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\dfrac{8}{13}=\dfrac{1360}{2210}$

$0{,}7=\dfrac{1547}{2210}$

$\dfrac{12}{17}=\dfrac{1560}{2210}$

Приводим все три числа к положительному общему знаменателю 2210. Так сравнение не зависит от округления.

$1360<1547<1560$

$\dfrac{8}{13}<0{,}7<\dfrac{12}{17}$

Числитель выбранного числа находится строго между двумя другими. Остальные варианты за эти границы не попадают.

Ответ 2) 0,7

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Сравнивай точные значения и границы промежутков. Округление может перенести число в соседний промежуток.

Задача 86

Тип 6

Условие

Одно из чисел $\dfrac{43}{15}$, $\dfrac{49}{15}$, $\dfrac{58}{15}$ и $\dfrac{64}{15}$ отмечено на числовой прямой точкой A. Какое это число?

1)$\dfrac{43}{15}$
2)$\dfrac{49}{15}$
3)$\dfrac{58}{15}$
4)$\dfrac{64}{15}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$3{,}5<A<4$

Сначала определяем цену деления. Указанные границы описывают область, где стоит точка, а не её точную координату.

$2{,}86<\dfrac{43}{15}<2{,}87$

$3{,}26<\dfrac{49}{15}<3{,}27$

$3{,}86<\dfrac{58}{15}<3{,}87$

$4{,}26<\dfrac{64}{15}<4{,}27$

Для дробей делим с остатком. Для корней сравниваем квадраты сотых. Строгие оценки позволяют различить близкие варианты.

$3{,}5<\dfrac{58}{15}<4$

Среди четырёх вариантов только эта дробь попадает в отмеченную область.

Ответ 3) $\dfrac{58}{15}$

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Определи цену деления по подписанным отметкам. Если рядом несколько вариантов, оцени их точнее, а не округляй до целых.

Задача 87

Тип 7

Условие

На координатной прямой отмечены точки $A$, $B$, $C$, $D$. Одна из них соответствует числу $\dfrac{63}{11}$. Какая это точка?

1)$A$
2)$B$
3)$C$
4)$D$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\dfrac{63}{11}=5+\dfrac{8}{11}$

$5{,}72<\dfrac{63}{11}<5{,}73$

Сначала находим целую часть, затем делим остаток на знаменатель до сотых. Знак приближения не подменяем равенством.

$A:\quad 5< A <5{,}5$

$B:\quad 5{,}5< B <6$

$C:\quad 6< C <6{,}5$

$D:\quad 6{,}5< D <7$

Мысленно отмечаем середины единичных отрезков и определяем, в какой половине находится каждая точка. Это границы областей, а не точные координаты точек.

$5{,}72<\dfrac{63}{11}<5{,}73$

Число попадает в область точки B. Остальные точки находятся в других областях.

Ответ 2) $B$

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Сначала проверь целую часть, затем положение внутри единичного отрезка. Точка за следующей целой отметкой не подходит.

Задача 88

Тип 8

Условие

На координатной прямой отмечены точки $A$, $B$, $C$, $D$. Одна из них соответствует числу $\sqrt{95}$. Какая это точка?

1)точка $A$
2)точка $B$
3)точка $C$
4)точка $D$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$9{,}74^2=94{,}8676$

$9{,}75^2=95{,}0625$

$94{,}8676<95<95{,}0625$

$9{,}74<\sqrt{95}<9{,}75$

Сравнение квадратов даёт оценку до сотых, не требуя вычислять корень точно.

$A:\quad 9< A <9{,}5$

$B:\quad 9{,}5< B <10$

$C:\quad 10< C <10{,}5$

$D:\quad 10{,}5< D <11$

Мысленно отмечаем середины единичных отрезков и определяем, в какой половине находится каждая точка. Это границы областей, а не точные координаты точек.

$9{,}74<\sqrt{95}<9{,}75$

Число попадает в область точки B. Остальные точки находятся в других областях.

Ответ 2) точка $B$

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Сначала проверь целую часть, затем положение внутри единичного отрезка. Точка за следующей целой отметкой не подходит.

Задача 89

Тип 9

Условие

На координатной прямой отмечены числа $a$ и $b$. Какое из следующих неравенств верно?

1)$ab^2 < 0$
2)$b - a < 0$
3)$ab > 0$
4)$a + b > 0$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$a<0<b$

$|a|>|b|$

Точка слева от нуля задаёт отрицательное число. По расстояниям от нуля сравниваем модули; точные координаты не нужны.

$ab^2<0$

Квадрат ненулевого числа положителен. Знак произведения зависит от количества отрицательных множителей в нечётной степени. Указанное в варианте неравенство верно.

$b - a>0$

Разность отрицательна, если уменьшаемое левее вычитаемого, и положительна, если правее. Указанное в варианте неравенство неверно.

$ab<0$

Квадрат ненулевого числа положителен. Знак произведения зависит от количества отрицательных множителей в нечётной степени. Указанное в варианте неравенство неверно.

$a + b<0$

При разных знаках знак суммы совпадает со знаком числа с большим модулем. Указанное в варианте неравенство неверно.

Ответ 1) $ab^2 < 0$

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Квадрат отрицательного числа положителен. Для суммы чисел разных знаков нужно сравнить модули, а не только знаки.

Задача 90

Тип 10

Условие

На координатной прямой отмечено число $a$. Какое из утверждений для этого числа является верным?

1)$a - 4 < 0$
2)$a - 6 > 0$
3)$6 - a > 0$
4)$7 - a < 0$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$6<a<7$

Между отметками 0 и 1 один единичный отрезок. Отсчитываем деления и находим соседние целые для точки a.

$a-4>0$

Из границ видно, что a больше 4. Знак в варианте указан неверно.

$a-6>0$

Из границ видно, что a больше 6. Вариант верен.

$6-a<0$

Из границ видно, что a больше 6. Знак в варианте указан неверно.

$7-a>0$

Из границ видно, что a меньше 7. Знак в варианте указан неверно.

Ответ 2) $a - 6 > 0$

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Разность a − n и разность n − a имеют противоположные знаки. Сначала установи порядок этих двух чисел.

Задача 91

Тип 11

Условие

На координатной прямой отмечены числа $p$, $q$ и $r$. Какая из разностей $p - r$, $p - q$, $r - q$ отрицательна?

1)$p - r$
2)$p - q$
3)$r - q$
4)ни одна из них

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$r<q<p$

Чем правее точка на координатной прямой, тем больше соответствующее число.

$p-r>0$

Число p правее числа r, поэтому разность положительна.

$p-q>0$

Число p правее числа q, поэтому разность положительна.

$r-q<0$

Число r левее числа q, поэтому разность отрицательна.

Ответ 3) $r - q$

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Знак разности определяется порядком уменьшаемого и вычитаемого. Координаты точек вычислять не нужно.

Задача 92

Тип 13

Условие

На координатной прямой точки $A$, $B$, $C$ и $D$ соответствуют числам $-0,502$; $0,25$; $0,205$; $0,52$. Какой точке соответствует число $0,25$?

1)$A$
2)$B$
3)$C$
4)$D$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$-0{,}502=\dfrac{-502}{1000}$

$0{,}25=\dfrac{250}{1000}$

$0{,}205=\dfrac{205}{1000}$

$0{,}52=\dfrac{520}{1000}$

У всех дробей положительный знаменатель 1000; сравниваем целые числители, учитывая знак.

$-0{,}502<0{,}205<0{,}25<0{,}52$

Отрицательные числа левее положительных. Из отрицательных меньше то, у которого модуль больше.

$A=-0{,}502$

$B=0{,}205$

$C=0{,}25$

$D=0{,}52$

На рисунке точки идут в порядке A, B, C, D. Числу 0,25 соответствует точка C.

Ответ 3) $C$

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: У отрицательных чисел больший модуль означает меньшее число. Нули в конце десятичной записи не меняют значение.

Задача 93

Тип 14

Условие

Одно из чисел $\sqrt{28}$, $\sqrt{33}$, $\sqrt{38}$, $\sqrt{47}$ отмечено на прямой точкой A. Какое это число?

1)$\sqrt{28}$
2)$\sqrt{33}$
3)$\sqrt{38}$
4)$\sqrt{47}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$5{,}5<A<6$

Сначала определяем цену деления. Указанные границы описывают область, где стоит точка, а не её точную координату.

$5{,}29<\sqrt{28}<5{,}3$

$5{,}74<\sqrt{33}<5{,}75$

$6{,}16<\sqrt{38}<6{,}17$

$6{,}85<\sqrt{47}<6{,}86$

Для дробей делим с остатком. Для корней сравниваем квадраты сотых. Строгие оценки позволяют различить близкие варианты.

$5{,}5^2=30{,}25$

$6^2=36$

$30{,}25<33<36$

$5{,}5<\sqrt{33}<6$

Только этот корень попадает в область точки A на рисунке.

Ответ 2) $\sqrt{33}$

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Определи цену деления по подписанным отметкам. Если рядом несколько вариантов, оцени их точнее, а не округляй до целых.

Задача 94

Тип 15

Условие

Какое из чисел $\sqrt{7}$, $\sqrt{8}$, $\sqrt{45}$ и $\sqrt{60}$ принадлежит промежутку [7; 8]?

1)$\sqrt{7}$
2)$\sqrt{8}$
3)$\sqrt{45}$
4)$\sqrt{60}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$7^2=49$

$8^2=64$

Квадратный корень возрастает: проверяем подкоренные числа между квадратами границ.

$7<49$

$8<49$

$45<49$

$60\in[49;64]$

В квадратный промежуток попадает только одно подкоренное число.

$7<\sqrt{60}<8$

Выбираем соответствующий корень, а в ответ записываем номер варианта.

Ответ 4) $\sqrt{60}$

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Сравнивай точные значения и границы промежутков. Округление может перенести число в соседний промежуток.

Задача 95

Тип 16

Условие

Какому из данных промежутков принадлежит число $\dfrac{7}{9}$?

1)[0,5; 0,6]
2)[0,6; 0,7]
3)[0,7; 0,8]
4)[0,8; 0,9]

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$7\cdot100=700$

$700=9\cdot77+7$

$0{,}77<\dfrac{7}{9}<0{,}78$

Деление до сотых с остатком даёт нижнюю границу; следующая сотая даёт верхнюю. Это строгие границы, а не округлённое равенство.

$0{,}7<\dfrac{7}{9}<0{,}8$

Дробь находится внутри этого промежутка. Квадратные скобки также включают его концы.

Ответ 3) [0,7; 0,8]

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Сравнивай точные значения и границы промежутков. Округление может перенести число в соседний промежуток.

Задача 96

Тип 1

Условие

Между какими целыми числами заключено число $\dfrac{124}{15}$?

1)8 и 9
2)9 и 10
3)10 и 11
4)11 и 12

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$124=15\cdot 8+4$

$\dfrac{124}{15}=8+\dfrac{4}{15}$

Целая часть равна 8, остаток 4 положителен и меньше 15. Поэтому дробная часть больше нуля и меньше единицы.

$8<\dfrac{124}{15}<9$

Число находится строго между целой частью и следующим целым числом.

Ответ 1) 8 и 9

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Сравнивай точные значения и границы промежутков. Округление может перенести число в соседний промежуток.

Задача 97

Тип 2

Условие

Одно из чисел $\dfrac{3}{13}$, $\dfrac{9}{13}$, $\dfrac{10}{13}$ и $\dfrac{12}{13}$ отмечено на числовой прямой точкой A. Какое это число?

1)$\dfrac{3}{13}$
2)$\dfrac{9}{13}$
3)$\dfrac{10}{13}$
4)$\dfrac{12}{13}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$0{,}9<A<1$

Сначала определяем цену деления. Указанные границы описывают область, где стоит точка, а не её точную координату.

$0{,}23<\dfrac{3}{13}<0{,}24$

$0{,}69<\dfrac{9}{13}<0{,}7$

$0{,}76<\dfrac{10}{13}<0{,}77$

$0{,}92<\dfrac{12}{13}<0{,}93$

Для дробей делим с остатком. Для корней сравниваем квадраты сотых. Строгие оценки позволяют различить близкие варианты.

$0{,}9<\dfrac{12}{13}<1$

Среди четырёх вариантов только эта дробь попадает в отмеченную область.

Ответ 4) $\dfrac{12}{13}$

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Определи цену деления по подписанным отметкам. Если рядом несколько вариантов, оцени их точнее, а не округляй до целых.

Задача 98

Тип 3

Условие

Какое из чисел $\dfrac{58}{17}$, $\dfrac{72}{17}$, $\dfrac{87}{17}$ и $\dfrac{91}{17}$ принадлежит отрезку $[4; 5]$?

1)$\dfrac{58}{17}$
2)$\dfrac{72}{17}$
3)$\dfrac{87}{17}$
4)$\dfrac{91}{17}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\dfrac{58}{17}=3+\dfrac{7}{17}$

$\dfrac{72}{17}=4+\dfrac{4}{17}$

$\dfrac{87}{17}=5+\dfrac{2}{17}$

$\dfrac{91}{17}=5+\dfrac{6}{17}$

Нужен отрезок от 4 до 5. Целая часть помогает отсеять дроби вне него; отдельно учитываем включённые концы.

$4<\dfrac{72}{17}<5$

Только эта дробь лежит между указанными границами.

Ответ 2) $\dfrac{72}{17}$

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Сравнивай точные значения и границы промежутков. Округление может перенести число в соседний промежуток.

Задача 99

Тип 4

Условие

Между какими числами заключено число $\sqrt{78}$?

1)25 и 27
2)4 и 5
3)77 и 79
4)8 и 9

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$8^2=64$

$9^2=81$

$64<78<81$

Подкоренное число лежит строго между квадратами двух соседних целых чисел.

$8<\sqrt{78}<9$

На неотрицательных числах извлечение корня сохраняет порядок.

Ответ 4) 8 и 9

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Сравнивай точные значения и границы промежутков. Округление может перенести число в соседний промежуток.

Задача 100

Тип 5

Условие

Какое из следующих чисел заключено между числами $\dfrac{8}{15}$ и $\dfrac{12}{19}$?

1)0,4
2)0,5
3)0,6
4)0,7

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\dfrac{8}{15}=\dfrac{152}{285}$

$0{,}6=\dfrac{171}{285}$

$\dfrac{12}{19}=\dfrac{180}{285}$

Приводим все три числа к положительному общему знаменателю 285. Так сравнение не зависит от округления.

$152<171<180$

$\dfrac{8}{15}<0{,}6<\dfrac{12}{19}$

Числитель выбранного числа находится строго между двумя другими. Остальные варианты за эти границы не попадают.

Ответ 3) 0,6

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Сравнивай точные значения и границы промежутков. Округление может перенести число в соседний промежуток.

Задача 101

Тип 6

Условие

Одно из чисел $\dfrac{41}{13}$, $\dfrac{48}{13}$, $\dfrac{55}{13}$ и $\dfrac{62}{13}$ отмечено на числовой прямой точкой A. Какое это число?

1)$\dfrac{41}{13}$
2)$\dfrac{48}{13}$
3)$\dfrac{55}{13}$
4)$\dfrac{62}{13}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$4<A<4{,}5$

Сначала определяем цену деления. Указанные границы описывают область, где стоит точка, а не её точную координату.

$3{,}15<\dfrac{41}{13}<3{,}16$

$3{,}69<\dfrac{48}{13}<3{,}7$

$4{,}23<\dfrac{55}{13}<4{,}24$

$4{,}76<\dfrac{62}{13}<4{,}77$

Для дробей делим с остатком. Для корней сравниваем квадраты сотых. Строгие оценки позволяют различить близкие варианты.

$4<\dfrac{55}{13}<4{,}5$

Среди четырёх вариантов только эта дробь попадает в отмеченную область.

Ответ 3) $\dfrac{55}{13}$

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Определи цену деления по подписанным отметкам. Если рядом несколько вариантов, оцени их точнее, а не округляй до целых.

Задача 102

Тип 7

Условие

На координатной прямой отмечены точки $A$, $B$, $C$, $D$. Одна из них соответствует числу $\dfrac{80}{11}$. Какая это точка?

1)$A$
2)$B$
3)$C$
4)$D$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\dfrac{80}{11}=7+\dfrac{3}{11}$

$7{,}27<\dfrac{80}{11}<7{,}28$

Сначала находим целую часть, затем делим остаток на знаменатель до сотых. Знак приближения не подменяем равенством.

$A:\quad 7< A <7{,}5$

$B:\quad 7{,}5< B <8$

$C:\quad 8< C <8{,}5$

$D:\quad 8{,}5< D <9$

Мысленно отмечаем середины единичных отрезков и определяем, в какой половине находится каждая точка. Это границы областей, а не точные координаты точек.

$7{,}27<\dfrac{80}{11}<7{,}28$

Число попадает в область точки A. Остальные точки находятся в других областях.

Ответ 1) $A$

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Сначала проверь целую часть, затем положение внутри единичного отрезка. Точка за следующей целой отметкой не подходит.

Задача 103

Тип 8

Условие

На координатной прямой отмечены точки $A$, $B$, $C$, $D$. Одна из них соответствует числу $\sqrt{60}$. Какая это точка?

1)точка $A$
2)точка $B$
3)точка $C$
4)точка $D$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$7{,}74^2=59{,}9076$

$7{,}75^2=60{,}0625$

$59{,}9076<60<60{,}0625$

$7{,}74<\sqrt{60}<7{,}75$

Сравнение квадратов даёт оценку до сотых, не требуя вычислять корень точно.

$A:\quad 7< A <7{,}5$

$B:\quad 7{,}5< B <8$

$C:\quad 8< C <8{,}5$

$D:\quad 8{,}5< D <9$

Мысленно отмечаем середины единичных отрезков и определяем, в какой половине находится каждая точка. Это границы областей, а не точные координаты точек.

$7{,}74<\sqrt{60}<7{,}75$

Число попадает в область точки B. Остальные точки находятся в других областях.

Ответ 2) точка $B$

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Сначала проверь целую часть, затем положение внутри единичного отрезка. Точка за следующей целой отметкой не подходит.

Задача 104

Тип 9

Условие

На координатной прямой отмечены числа $a$ и $b$. Какое из следующих неравенств верно?

1)$ab > 0$
2)$ab^2 < 0$
3)$a + b < 0$
4)$a - b > 0$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$b<0<a$

$|a|>|b|$

Точка слева от нуля задаёт отрицательное число. По расстояниям от нуля сравниваем модули; точные координаты не нужны.

$ab<0$

Квадрат ненулевого числа положителен. Знак произведения зависит от количества отрицательных множителей в нечётной степени. Указанное в варианте неравенство неверно.

$ab^2>0$

Квадрат ненулевого числа положителен. Знак произведения зависит от количества отрицательных множителей в нечётной степени. Указанное в варианте неравенство неверно.

$a + b>0$

При разных знаках знак суммы совпадает со знаком числа с большим модулем. Указанное в варианте неравенство неверно.

$a - b>0$

Разность отрицательна, если уменьшаемое левее вычитаемого, и положительна, если правее. Указанное в варианте неравенство верно.

Ответ 4) $a - b > 0$

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Квадрат отрицательного числа положителен. Для суммы чисел разных знаков нужно сравнить модули, а не только знаки.

Задача 105

Тип 10

Условие

На координатной прямой отмечено число $a$. Какое из утверждений для этого числа является верным?

1)$8 - a < 0$
2)$a - 5 < 0$
3)$8 - a > 0$
4)$a - 6 > 0$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$5<a<6$

Между отметками 0 и 1 один единичный отрезок. Отсчитываем деления и находим соседние целые для точки a.

$8-a>0$

Из границ видно, что a меньше 8. Знак в варианте указан неверно.

$a-5>0$

Из границ видно, что a больше 5. Знак в варианте указан неверно.

$8-a>0$

Из границ видно, что a меньше 8. Вариант верен.

$a-6<0$

Из границ видно, что a меньше 6. Знак в варианте указан неверно.

Ответ 3) $8 - a > 0$

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Разность a − n и разность n − a имеют противоположные знаки. Сначала установи порядок этих двух чисел.

Задача 106

Тип 11

Условие

На координатной прямой отмечены числа $x$, $y$ и $z$. Какая из разностей $z - x$, $z - y$, $y - x$ отрицательна?

1)$z - x$
2)$z - y$
3)$y - x$
4)ни одна из них

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$x<y<z$

Чем правее точка на координатной прямой, тем больше соответствующее число.

$z-x>0$

Число z правее числа x, поэтому разность положительна.

$z-y>0$

Число z правее числа y, поэтому разность положительна.

$y-x>0$

Число y правее числа x, поэтому разность положительна.

Ни одна из трёх разностей не имеет требуемого знака. Выбираем «ни одна из них».

Ответ 4) ни одна из них

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Знак разности определяется порядком уменьшаемого и вычитаемого. Координаты точек вычислять не нужно.

Задача 107

Тип 13

Условие

На координатной прямой точки $A$, $B$, $C$ и $D$ соответствуют числам $-0,205$; $-0,052$; $0,02$; $0,008$. Какой точке соответствует число $0,02$?

1)$A$
2)$B$
3)$C$
4)$D$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$-0{,}205=\dfrac{-205}{1000}$

$-0{,}052=\dfrac{-52}{1000}$

$0{,}02=\dfrac{20}{1000}$

$0{,}008=\dfrac{8}{1000}$

У всех дробей положительный знаменатель 1000; сравниваем целые числители, учитывая знак.

$-0{,}205<-0{,}052<0{,}008<0{,}02$

Отрицательные числа левее положительных. Из отрицательных меньше то, у которого модуль больше.

$A=-0{,}205$

$B=-0{,}052$

$C=0{,}008$

$D=0{,}02$

На рисунке точки идут в порядке A, B, C, D. Числу 0,02 соответствует точка D.

Ответ 4) $D$

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: У отрицательных чисел больший модуль означает меньшее число. Нули в конце десятичной записи не меняют значение.

Задача 108

Тип 14

Условие

Одно из чисел $\sqrt{17}$, $\sqrt{22}$, $\sqrt{28}$, $\sqrt{32}$ отмечено на прямой точкой A. Какое это число?

1)$\sqrt{17}$
2)$\sqrt{22}$
3)$\sqrt{28}$
4)$\sqrt{32}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$4<A<4{,}5$

Сначала определяем цену деления. Указанные границы описывают область, где стоит точка, а не её точную координату.

$4{,}12<\sqrt{17}<4{,}13$

$4{,}69<\sqrt{22}<4{,}7$

$5{,}29<\sqrt{28}<5{,}3$

$5{,}65<\sqrt{32}<5{,}66$

Для дробей делим с остатком. Для корней сравниваем квадраты сотых. Строгие оценки позволяют различить близкие варианты.

$4^2=16$

$4{,}5^2=20{,}25$

$16<17<20{,}25$

$4<\sqrt{17}<4{,}5$

Только этот корень попадает в область точки A на рисунке.

Ответ 1) $\sqrt{17}$

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Определи цену деления по подписанным отметкам. Если рядом несколько вариантов, оцени их точнее, а не округляй до целых.

Задача 109

Тип 15

Условие

Какое из чисел $\sqrt{7}$, $\sqrt{8}$, $\sqrt{48}$ и $\sqrt{56}$ принадлежит промежутку [7; 8]?

1)$\sqrt{7}$
2)$\sqrt{8}$
3)$\sqrt{48}$
4)$\sqrt{56}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$7^2=49$

$8^2=64$

Квадратный корень возрастает: проверяем подкоренные числа между квадратами границ.

$7<49$

$8<49$

$48<49$

$56\in[49;64]$

В квадратный промежуток попадает только одно подкоренное число.

$7<\sqrt{56}<8$

Выбираем соответствующий корень, а в ответ записываем номер варианта.

Ответ 4) $\sqrt{56}$

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Сравнивай точные значения и границы промежутков. Округление может перенести число в соседний промежуток.

Задача 110

Тип 16

Условие

Какому из данных промежутков принадлежит число $\dfrac{5}{11}$?

1)[0,2; 0,3]
2)[0,3; 0,4]
3)[0,4; 0,5]
4)[0,5; 0,6]

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$5\cdot100=500$

$500=11\cdot45+5$

$0{,}45<\dfrac{5}{11}<0{,}46$

Деление до сотых с остатком даёт нижнюю границу; следующая сотая даёт верхнюю. Это строгие границы, а не округлённое равенство.

$0{,}4<\dfrac{5}{11}<0{,}5$

Дробь находится внутри этого промежутка. Квадратные скобки также включают его концы.

Ответ 3) [0,4; 0,5]

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Сравнивай точные значения и границы промежутков. Округление может перенести число в соседний промежуток.

Задача 111

Тип 1

Условие

Между какими целыми числами заключено число $\dfrac{131}{12}$?

1)10 и 11
2)11 и 12
3)12 и 13
4)13 и 14

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$131=12\cdot 10+11$

$\dfrac{131}{12}=10+\dfrac{11}{12}$

Целая часть равна 10, остаток 11 положителен и меньше 12. Поэтому дробная часть больше нуля и меньше единицы.

$10<\dfrac{131}{12}<11$

Число находится строго между целой частью и следующим целым числом.

Ответ 1) 10 и 11

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Сравнивай точные значения и границы промежутков. Округление может перенести число в соседний промежуток.

Задача 112

Тип 2

Условие

Одно из чисел $\dfrac{6}{11}$, $\dfrac{9}{11}$, $\dfrac{13}{11}$ и $\dfrac{14}{11}$ отмечено на числовой прямой точкой A. Какое это число?

1)$\dfrac{6}{11}$
2)$\dfrac{9}{11}$
3)$\dfrac{13}{11}$
4)$\dfrac{14}{11}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$0{,}5<A<0{,}6$

Сначала определяем цену деления. Указанные границы описывают область, где стоит точка, а не её точную координату.

$0{,}54<\dfrac{6}{11}<0{,}55$

$0{,}81<\dfrac{9}{11}<0{,}82$

$1{,}18<\dfrac{13}{11}<1{,}19$

$1{,}27<\dfrac{14}{11}<1{,}28$

Для дробей делим с остатком. Для корней сравниваем квадраты сотых. Строгие оценки позволяют различить близкие варианты.

$0{,}5<\dfrac{6}{11}<0{,}6$

Среди четырёх вариантов только эта дробь попадает в отмеченную область.

Ответ 1) $\dfrac{6}{11}$

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Определи цену деления по подписанным отметкам. Если рядом несколько вариантов, оцени их точнее, а не округляй до целых.

Задача 113

Тип 3

Условие

Какое из чисел $\dfrac{49}{15}$, $\dfrac{52}{15}$, $\dfrac{58}{15}$ и $\dfrac{71}{15}$ принадлежит отрезку $[4; 5]$?

1)$\dfrac{49}{15}$
2)$\dfrac{52}{15}$
3)$\dfrac{58}{15}$
4)$\dfrac{71}{15}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\dfrac{49}{15}=3+\dfrac{4}{15}$

$\dfrac{52}{15}=3+\dfrac{7}{15}$

$\dfrac{58}{15}=3+\dfrac{13}{15}$

$\dfrac{71}{15}=4+\dfrac{11}{15}$

Нужен отрезок от 4 до 5. Целая часть помогает отсеять дроби вне него; отдельно учитываем включённые концы.

$4<\dfrac{71}{15}<5$

Только эта дробь лежит между указанными границами.

Ответ 4) $\dfrac{71}{15}$

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Сравнивай точные значения и границы промежутков. Округление может перенести число в соседний промежуток.

Задача 114

Тип 4

Условие

Между какими числами заключено число $\sqrt{56}$?

1)55 и 57
2)3 и 4
3)19 и 21
4)7 и 8

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$7^2=49$

$8^2=64$

$49<56<64$

Подкоренное число лежит строго между квадратами двух соседних целых чисел.

$7<\sqrt{56}<8$

На неотрицательных числах извлечение корня сохраняет порядок.

Ответ 4) 7 и 8

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Сравнивай точные значения и границы промежутков. Округление может перенести число в соседний промежуток.

Задача 115

Тип 5

Условие

Какое из следующих чисел заключено между числами $\dfrac{8}{3}$ и $\dfrac{11}{4}$?

1)2,7
2)2,8
3)2,9
4)3

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\dfrac{8}{3}=\dfrac{160}{60}$

$2{,}7=\dfrac{162}{60}$

$\dfrac{11}{4}=\dfrac{165}{60}$

Приводим все три числа к положительному общему знаменателю 60. Так сравнение не зависит от округления.

$160<162<165$

$\dfrac{8}{3}<2{,}7<\dfrac{11}{4}$

Числитель выбранного числа находится строго между двумя другими. Остальные варианты за эти границы не попадают.

Ответ 1) 2,7

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Сравнивай точные значения и границы промежутков. Округление может перенести число в соседний промежуток.

Задача 116

Тип 6

Условие

Одно из чисел $\dfrac{71}{15}$, $\dfrac{79}{15}$, $\dfrac{86}{15}$ и $\dfrac{92}{15}$ отмечено на числовой прямой точкой A. Какое это число?

1)$\dfrac{71}{15}$
2)$\dfrac{79}{15}$
3)$\dfrac{86}{15}$
4)$\dfrac{92}{15}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$6<A<6{,}5$

Сначала определяем цену деления. Указанные границы описывают область, где стоит точка, а не её точную координату.

$4{,}73<\dfrac{71}{15}<4{,}74$

$5{,}26<\dfrac{79}{15}<5{,}27$

$5{,}73<\dfrac{86}{15}<5{,}74$

$6{,}13<\dfrac{92}{15}<6{,}14$

Для дробей делим с остатком. Для корней сравниваем квадраты сотых. Строгие оценки позволяют различить близкие варианты.

$6<\dfrac{92}{15}<6{,}5$

Среди четырёх вариантов только эта дробь попадает в отмеченную область.

Ответ 4) $\dfrac{92}{15}$

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Определи цену деления по подписанным отметкам. Если рядом несколько вариантов, оцени их точнее, а не округляй до целых.

Задача 117

Тип 7

Условие

На координатной прямой отмечены точки $A$, $B$, $C$, $D$. Одна из них соответствует числу $\dfrac{100}{19}$. Какая это точка?

1)$A$
2)$B$
3)$C$
4)$D$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\dfrac{100}{19}=5+\dfrac{5}{19}$

$5{,}26<\dfrac{100}{19}<5{,}27$

Сначала находим целую часть, затем делим остаток на знаменатель до сотых. Знак приближения не подменяем равенством.

$A:\quad 4< A <4{,}5$

$B:\quad 4{,}5< B <5$

$C:\quad 5< C <5{,}5$

$D:\quad 5{,}5< D <6$

Мысленно отмечаем середины единичных отрезков и определяем, в какой половине находится каждая точка. Это границы областей, а не точные координаты точек.

$5{,}26<\dfrac{100}{19}<5{,}27$

Число попадает в область точки C. Остальные точки находятся в других областях.

Ответ 3) $C$

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Сначала проверь целую часть, затем положение внутри единичного отрезка. Точка за следующей целой отметкой не подходит.

Задача 118

Тип 8

Условие

На координатной прямой отмечены точки $A$, $B$, $C$, $D$. Одна из них соответствует числу $\sqrt{39}$. Какая это точка?

1)точка $A$
2)точка $B$
3)точка $C$
4)точка $D$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$6{,}24^2=38{,}9376$

$6{,}25^2=39{,}0625$

$38{,}9376<39<39{,}0625$

$6{,}24<\sqrt{39}<6{,}25$

Сравнение квадратов даёт оценку до сотых, не требуя вычислять корень точно.

$A:\quad 5< A <5{,}5$

$B:\quad 5{,}5< B <6$

$C:\quad 6< C <6{,}5$

$D:\quad 6{,}5< D <7$

Мысленно отмечаем середины единичных отрезков и определяем, в какой половине находится каждая точка. Это границы областей, а не точные координаты точек.

$6{,}24<\sqrt{39}<6{,}25$

Число попадает в область точки C. Остальные точки находятся в других областях.

Ответ 3) точка $C$

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Сначала проверь целую часть, затем положение внутри единичного отрезка. Точка за следующей целой отметкой не подходит.

Задача 119

Тип 9

Условие

На координатной прямой отмечены числа $x$ и $y$. Какое из следующих неравенств верно?

1)$xy > 0$
2)$x^2y < 0$
3)$x + y > 0$
4)$x - y < 0$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$x<0<y$

$|x|>|y|$

Точка слева от нуля задаёт отрицательное число. По расстояниям от нуля сравниваем модули; точные координаты не нужны.

$xy<0$

Квадрат ненулевого числа положителен. Знак произведения зависит от количества отрицательных множителей в нечётной степени. Указанное в варианте неравенство неверно.

$x^2y>0$

Квадрат ненулевого числа положителен. Знак произведения зависит от количества отрицательных множителей в нечётной степени. Указанное в варианте неравенство неверно.

$x + y<0$

При разных знаках знак суммы совпадает со знаком числа с большим модулем. Указанное в варианте неравенство неверно.

$x - y<0$

Разность отрицательна, если уменьшаемое левее вычитаемого, и положительна, если правее. Указанное в варианте неравенство верно.

Ответ 4) $x - y < 0$

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Квадрат отрицательного числа положителен. Для суммы чисел разных знаков нужно сравнить модули, а не только знаки.

Задача 120

Тип 10

Условие

На координатной прямой отмечено число $a$. Какое из утверждений для этого числа является верным?

1)$a - 5 < 0$
2)$5 - a < 0$
3)$a - 7 > 0$
4)$6 - a > 0$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$6<a<7$

Между отметками 0 и 1 один единичный отрезок. Отсчитываем деления и находим соседние целые для точки a.

$a-5>0$

Из границ видно, что a больше 5. Знак в варианте указан неверно.

$5-a<0$

Из границ видно, что a больше 5. Вариант верен.

$a-7<0$

Из границ видно, что a меньше 7. Знак в варианте указан неверно.

$6-a<0$

Из границ видно, что a больше 6. Знак в варианте указан неверно.

Ответ 2) $5 - a < 0$

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Разность a − n и разность n − a имеют противоположные знаки. Сначала установи порядок этих двух чисел.

Задача 121

Тип 13

Условие

На координатной прямой точки $A$, $B$, $C$ и $D$ соответствуют числам $0,098$; $-0,02$; $0,09$; $0,11$. Какой точке соответствует число $0,09$?

1)$A$
2)$B$
3)$C$
4)$D$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$0{,}098=\dfrac{98}{1000}$

$-0{,}02=\dfrac{-20}{1000}$

$0{,}09=\dfrac{90}{1000}$

$0{,}11=\dfrac{110}{1000}$

У всех дробей положительный знаменатель 1000; сравниваем целые числители, учитывая знак.

$-0{,}02<0{,}09<0{,}098<0{,}11$

Отрицательные числа левее положительных. Из отрицательных меньше то, у которого модуль больше.

$A=-0{,}02$

$B=0{,}09$

$C=0{,}098$

$D=0{,}11$

На рисунке точки идут в порядке A, B, C, D. Числу 0,09 соответствует точка B.

Ответ 2) $B$

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: У отрицательных чисел больший модуль означает меньшее число. Нули в конце десятичной записи не меняют значение.

Задача 122

Тип 14

Условие

Одно из чисел $\sqrt{29}$, $\sqrt{34}$, $\sqrt{39}$, $\sqrt{45}$ отмечено на прямой точкой A. Какое это число?

1)$\sqrt{29}$
2)$\sqrt{34}$
3)$\sqrt{39}$
4)$\sqrt{45}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$5{,}5<A<6$

Сначала определяем цену деления. Указанные границы описывают область, где стоит точка, а не её точную координату.

$5{,}38<\sqrt{29}<5{,}39$

$5{,}83<\sqrt{34}<5{,}84$

$6{,}24<\sqrt{39}<6{,}25$

$6{,}7<\sqrt{45}<6{,}71$

Для дробей делим с остатком. Для корней сравниваем квадраты сотых. Строгие оценки позволяют различить близкие варианты.

$5{,}5^2=30{,}25$

$6^2=36$

$30{,}25<34<36$

$5{,}5<\sqrt{34}<6$

Только этот корень попадает в область точки A на рисунке.

Ответ 2) $\sqrt{34}$

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Определи цену деления по подписанным отметкам. Если рядом несколько вариантов, оцени их точнее, а не округляй до целых.

Задача 123

Тип 15

Условие

Какое из чисел $\sqrt{6}$, $\sqrt{7}$, $\sqrt{40}$ и $\sqrt{51}$ принадлежит промежутку [6; 7]?

1)$\sqrt{6}$
2)$\sqrt{7}$
3)$\sqrt{40}$
4)$\sqrt{51}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$6^2=36$

$7^2=49$

Квадратный корень возрастает: проверяем подкоренные числа между квадратами границ.

$6<36$

$7<36$

$40\in[36;49]$

$51>49$

В квадратный промежуток попадает только одно подкоренное число.

$6<\sqrt{40}<7$

Выбираем соответствующий корень, а в ответ записываем номер варианта.

Ответ 3) $\sqrt{40}$

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Сравнивай точные значения и границы промежутков. Округление может перенести число в соседний промежуток.

Задача 124

Тип 16

Условие

Какому из данных промежутков принадлежит число $\dfrac{4}{9}$?

1)[0,1; 0,2]
2)[0,2; 0,3]
3)[0,3; 0,4]
4)[0,4; 0,5]

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$4\cdot100=400$

$400=9\cdot44+4$

$0{,}44<\dfrac{4}{9}<0{,}45$

Деление до сотых с остатком даёт нижнюю границу; следующая сотая даёт верхнюю. Это строгие границы, а не округлённое равенство.

$0{,}4<\dfrac{4}{9}<0{,}5$

Дробь находится внутри этого промежутка. Квадратные скобки также включают его концы.

Ответ 4) [0,4; 0,5]

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Сравнивай точные значения и границы промежутков. Округление может перенести число в соседний промежуток.

Задача 125

Тип 1

Условие

Между какими целыми числами заключено число $\dfrac{160}{11}$?

1)12 и 13
2)13 и 14
3)14 и 15
4)15 и 16

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$160=11\cdot 14+6$

$\dfrac{160}{11}=14+\dfrac{6}{11}$

Целая часть равна 14, остаток 6 положителен и меньше 11. Поэтому дробная часть больше нуля и меньше единицы.

$14<\dfrac{160}{11}<15$

Число находится строго между целой частью и следующим целым числом.

Ответ 3) 14 и 15

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Сравнивай точные значения и границы промежутков. Округление может перенести число в соседний промежуток.

Задача 126

Тип 2

Условие

Одно из чисел $\dfrac{2}{13}$, $\dfrac{7}{13}$, $\dfrac{9}{13}$ и $\dfrac{11}{13}$ отмечено на числовой прямой точкой A. Какое это число?

1)$\dfrac{2}{13}$
2)$\dfrac{7}{13}$
3)$\dfrac{9}{13}$
4)$\dfrac{11}{13}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$0{,}1<A<0{,}2$

Сначала определяем цену деления. Указанные границы описывают область, где стоит точка, а не её точную координату.

$0{,}15<\dfrac{2}{13}<0{,}16$

$0{,}53<\dfrac{7}{13}<0{,}54$

$0{,}69<\dfrac{9}{13}<0{,}7$

$0{,}84<\dfrac{11}{13}<0{,}85$

Для дробей делим с остатком. Для корней сравниваем квадраты сотых. Строгие оценки позволяют различить близкие варианты.

$0{,}1<\dfrac{2}{13}<0{,}2$

Среди четырёх вариантов только эта дробь попадает в отмеченную область.

Ответ 1) $\dfrac{2}{13}$

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Определи цену деления по подписанным отметкам. Если рядом несколько вариантов, оцени их точнее, а не округляй до целых.

Задача 127

Тип 3

Условие

Какое из чисел $\dfrac{46}{7}$, $\dfrac{53}{7}$, $\dfrac{55}{7}$ и $\dfrac{61}{7}$ принадлежит отрезку $[8; 9]$?

1)$\dfrac{46}{7}$
2)$\dfrac{53}{7}$
3)$\dfrac{55}{7}$
4)$\dfrac{61}{7}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\dfrac{46}{7}=6+\dfrac{4}{7}$

$\dfrac{53}{7}=7+\dfrac{4}{7}$

$\dfrac{55}{7}=7+\dfrac{6}{7}$

$\dfrac{61}{7}=8+\dfrac{5}{7}$

Нужен отрезок от 8 до 9. Целая часть помогает отсеять дроби вне него; отдельно учитываем включённые концы.

$8<\dfrac{61}{7}<9$

Только эта дробь лежит между указанными границами.

Ответ 4) $\dfrac{61}{7}$

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Сравнивай точные значения и границы промежутков. Округление может перенести число в соседний промежуток.

Задача 128

Тип 4

Условие

Между какими числами заключено число $\sqrt{59}$?

1)7 и 8
2)29 и 30
3)58 и 60
4)3 и 4

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$7^2=49$

$8^2=64$

$49<59<64$

Подкоренное число лежит строго между квадратами двух соседних целых чисел.

$7<\sqrt{59}<8$

На неотрицательных числах извлечение корня сохраняет порядок.

Ответ 1) 7 и 8

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Сравнивай точные значения и границы промежутков. Округление может перенести число в соседний промежуток.

Задача 129

Тип 5

Условие

Какое из следующих чисел заключено между числами $\dfrac{17}{19}$ и $\dfrac{13}{14}$?

1)0,6
2)0,7
3)0,8
4)0,9

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\dfrac{17}{19}=\dfrac{1190}{1330}$

$0{,}9=\dfrac{1197}{1330}$

$\dfrac{13}{14}=\dfrac{1235}{1330}$

Приводим все три числа к положительному общему знаменателю 1330. Так сравнение не зависит от округления.

$1190<1197<1235$

$\dfrac{17}{19}<0{,}9<\dfrac{13}{14}$

Числитель выбранного числа находится строго между двумя другими. Остальные варианты за эти границы не попадают.

Ответ 4) 0,9

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Сравнивай точные значения и границы промежутков. Округление может перенести число в соседний промежуток.

Задача 130

Тип 6

Условие

Одно из чисел $\dfrac{73}{22}$, $\dfrac{83}{22}$, $\dfrac{93}{22}$ и $\dfrac{113}{22}$ отмечено на числовой прямой точкой A. Какое это число?

1)$\dfrac{73}{22}$
2)$\dfrac{83}{22}$
3)$\dfrac{93}{22}$
4)$\dfrac{113}{22}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$3{,}5<A<4$

Сначала определяем цену деления. Указанные границы описывают область, где стоит точка, а не её точную координату.

$3{,}31<\dfrac{73}{22}<3{,}32$

$3{,}77<\dfrac{83}{22}<3{,}78$

$4{,}22<\dfrac{93}{22}<4{,}23$

$5{,}13<\dfrac{113}{22}<5{,}14$

Для дробей делим с остатком. Для корней сравниваем квадраты сотых. Строгие оценки позволяют различить близкие варианты.

$3{,}5<\dfrac{83}{22}<4$

Среди четырёх вариантов только эта дробь попадает в отмеченную область.

Ответ 2) $\dfrac{83}{22}$

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Определи цену деления по подписанным отметкам. Если рядом несколько вариантов, оцени их точнее, а не округляй до целых.

Задача 131

Тип 7

Условие

На координатной прямой отмечены точки $A$, $B$, $C$, $D$. Одна из них соответствует числу $\dfrac{132}{17}$. Какая это точка?

1)$A$
2)$B$
3)$C$
4)$D$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\dfrac{132}{17}=7+\dfrac{13}{17}$

$7{,}76<\dfrac{132}{17}<7{,}77$

Сначала находим целую часть, затем делим остаток на знаменатель до сотых. Знак приближения не подменяем равенством.

$A:\quad 6< A <6{,}5$

$B:\quad 6{,}5< B <7$

$C:\quad 7< C <7{,}5$

$D:\quad 7{,}5< D <8$

Мысленно отмечаем середины единичных отрезков и определяем, в какой половине находится каждая точка. Это границы областей, а не точные координаты точек.

$7{,}76<\dfrac{132}{17}<7{,}77$

Число попадает в область точки D. Остальные точки находятся в других областях.

Ответ 4) $D$

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Сначала проверь целую часть, затем положение внутри единичного отрезка. Точка за следующей целой отметкой не подходит.

Задача 132

Тип 8

Условие

На координатной прямой отмечены точки $A$, $B$, $C$, $D$. Одна из них соответствует числу $\sqrt{28}$. Какая это точка?

1)точка $A$
2)точка $B$
3)точка $C$
4)точка $D$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$5{,}29^2=27{,}9841$

$5{,}3^2=28{,}09$

$27{,}9841<28<28{,}09$

$5{,}29<\sqrt{28}<5{,}3$

Сравнение квадратов даёт оценку до сотых, не требуя вычислять корень точно.

$A:\quad 5< A <5{,}5$

$B:\quad 5{,}5< B <6$

$C:\quad 6< C <6{,}5$

$D:\quad 6{,}5< D <7$

Мысленно отмечаем середины единичных отрезков и определяем, в какой половине находится каждая точка. Это границы областей, а не точные координаты точек.

$5{,}29<\sqrt{28}<5{,}3$

Число попадает в область точки A. Остальные точки находятся в других областях.

Ответ 1) точка $A$

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Сначала проверь целую часть, затем положение внутри единичного отрезка. Точка за следующей целой отметкой не подходит.

Задача 133

Тип 9

Условие

На координатной прямой отмечены числа $x$ и $y$. Какое из следующих неравенств верно?

1)$x + y < 0$
2)$xy < 0$
3)$y - x > 0$
4)$x^2y > 0$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$y<0<x$

$|x|>|y|$

Точка слева от нуля задаёт отрицательное число. По расстояниям от нуля сравниваем модули; точные координаты не нужны.

$x + y>0$

При разных знаках знак суммы совпадает со знаком числа с большим модулем. Указанное в варианте неравенство неверно.

$xy<0$

Квадрат ненулевого числа положителен. Знак произведения зависит от количества отрицательных множителей в нечётной степени. Указанное в варианте неравенство верно.

$y - x<0$

Разность отрицательна, если уменьшаемое левее вычитаемого, и положительна, если правее. Указанное в варианте неравенство неверно.

$x^2y<0$

Квадрат ненулевого числа положителен. Знак произведения зависит от количества отрицательных множителей в нечётной степени. Указанное в варианте неравенство неверно.

Ответ 2) $xy < 0$

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Квадрат отрицательного числа положителен. Для суммы чисел разных знаков нужно сравнить модули, а не только знаки.

Задача 134

Тип 10

Условие

На координатной прямой отмечено число $a$. Какое из утверждений для этого числа является верным?

1)$4 - a > 0$
2)$a - 7 < 0$
3)$a - 8 > 0$
4)$8 - a < 0$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$5<a<6$

Между отметками 0 и 1 один единичный отрезок. Отсчитываем деления и находим соседние целые для точки a.

$4-a<0$

Из границ видно, что a больше 4. Знак в варианте указан неверно.

$a-7<0$

Из границ видно, что a меньше 7. Вариант верен.

$a-8<0$

Из границ видно, что a меньше 8. Знак в варианте указан неверно.

$8-a>0$

Из границ видно, что a меньше 8. Знак в варианте указан неверно.

Ответ 2) $a - 7 < 0$

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Разность a − n и разность n − a имеют противоположные знаки. Сначала установи порядок этих двух чисел.

Задача 135

Тип 13

Условие

На координатной прямой точки $A$, $B$, $C$ и $D$ соответствуют числам $0,0137$; $0,103$; $0,03$; $0,021$. Какой точке соответствует число $0,03$?

1)$A$
2)$B$
3)$C$
4)$D$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$0{,}0137=\dfrac{137}{10000}$

$0{,}103=\dfrac{1030}{10000}$

$0{,}03=\dfrac{300}{10000}$

$0{,}021=\dfrac{210}{10000}$

У всех дробей положительный знаменатель 10000; сравниваем целые числители, учитывая знак.

$0{,}0137<0{,}021<0{,}03<0{,}103$

Отрицательные числа левее положительных. Из отрицательных меньше то, у которого модуль больше.

$A=0{,}0137$

$B=0{,}021$

$C=0{,}03$

$D=0{,}103$

На рисунке точки идут в порядке A, B, C, D. Числу 0,03 соответствует точка C.

Ответ 3) $C$

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: У отрицательных чисел больший модуль означает меньшее число. Нули в конце десятичной записи не меняют значение.

Задача 136

Тип 14

Условие

Одно из чисел $\sqrt{39}$, $\sqrt{44}$, $\sqrt{50}$, $\sqrt{62}$ отмечено на прямой точкой A. Какое это число?

1)$\sqrt{39}$
2)$\sqrt{44}$
3)$\sqrt{50}$
4)$\sqrt{62}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$6{,}5<A<7$

Сначала определяем цену деления. Указанные границы описывают область, где стоит точка, а не её точную координату.

$6{,}24<\sqrt{39}<6{,}25$

$6{,}63<\sqrt{44}<6{,}64$

$7{,}07<\sqrt{50}<7{,}08$

$7{,}87<\sqrt{62}<7{,}88$

Для дробей делим с остатком. Для корней сравниваем квадраты сотых. Строгие оценки позволяют различить близкие варианты.

$6{,}5^2=42{,}25$

$7^2=49$

$42{,}25<44<49$

$6{,}5<\sqrt{44}<7$

Только этот корень попадает в область точки A на рисунке.

Ответ 2) $\sqrt{44}$

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Определи цену деления по подписанным отметкам. Если рядом несколько вариантов, оцени их точнее, а не округляй до целых.

Задача 137

Тип 15

Условие

Какое из чисел $\sqrt{5}$, $\sqrt{6}$, $\sqrt{28}$ и $\sqrt{41}$ принадлежит промежутку [5; 6]?

1)$\sqrt{5}$
2)$\sqrt{6}$
3)$\sqrt{28}$
4)$\sqrt{41}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$5^2=25$

$6^2=36$

Квадратный корень возрастает: проверяем подкоренные числа между квадратами границ.

$5<25$

$6<25$

$28\in[25;36]$

$41>36$

В квадратный промежуток попадает только одно подкоренное число.

$5<\sqrt{28}<6$

Выбираем соответствующий корень, а в ответ записываем номер варианта.

Ответ 3) $\sqrt{28}$

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Сравнивай точные значения и границы промежутков. Округление может перенести число в соседний промежуток.

Задача 138

Тип 16

Условие

Какому из данных промежутков принадлежит число $\dfrac{7}{11}$?

1)[0,4; 0,5]
2)[0,5; 0,6]
3)[0,6; 0,7]
4)[0,7; 0,8]

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$7\cdot100=700$

$700=11\cdot63+7$

$0{,}63<\dfrac{7}{11}<0{,}64$

Деление до сотых с остатком даёт нижнюю границу; следующая сотая даёт верхнюю. Это строгие границы, а не округлённое равенство.

$0{,}6<\dfrac{7}{11}<0{,}7$

Дробь находится внутри этого промежутка. Квадратные скобки также включают его концы.

Ответ 3) [0,6; 0,7]

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Сравнивай точные значения и границы промежутков. Округление может перенести число в соседний промежуток.

Задача 139

Тип 1

Условие

Между какими целыми числами заключено число $\dfrac{190}{17}$?

1)10 и 11
2)11 и 12
3)12 и 13
4)13 и 14

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$190=17\cdot 11+3$

$\dfrac{190}{17}=11+\dfrac{3}{17}$

Целая часть равна 11, остаток 3 положителен и меньше 17. Поэтому дробная часть больше нуля и меньше единицы.

$11<\dfrac{190}{17}<12$

Число находится строго между целой частью и следующим целым числом.

Ответ 2) 11 и 12

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Сравнивай точные значения и границы промежутков. Округление может перенести число в соседний промежуток.

Задача 140

Тип 2

Условие

Одно из чисел $\dfrac{3}{17}$, $\dfrac{4}{17}$, $\dfrac{8}{17}$ и $\dfrac{14}{17}$ отмечено на числовой прямой точкой A. Какое это число?

1)$\dfrac{3}{17}$
2)$\dfrac{4}{17}$
3)$\dfrac{8}{17}$
4)$\dfrac{14}{17}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$0{,}1<A<0{,}2$

Сначала определяем цену деления. Указанные границы описывают область, где стоит точка, а не её точную координату.

$0{,}17<\dfrac{3}{17}<0{,}18$

$0{,}23<\dfrac{4}{17}<0{,}24$

$0{,}47<\dfrac{8}{17}<0{,}48$

$0{,}82<\dfrac{14}{17}<0{,}83$

Для дробей делим с остатком. Для корней сравниваем квадраты сотых. Строгие оценки позволяют различить близкие варианты.

$0{,}1<\dfrac{3}{17}<0{,}2$

Среди четырёх вариантов только эта дробь попадает в отмеченную область.

Ответ 1) $\dfrac{3}{17}$

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Определи цену деления по подписанным отметкам. Если рядом несколько вариантов, оцени их точнее, а не округляй до целых.

Задача 141

Тип 3

Условие

Какое из чисел $\dfrac{69}{11}$, $\dfrac{80}{11}$, $\dfrac{90}{11}$ и $\dfrac{92}{11}$ принадлежит отрезку $[7; 8]$?

1)$\dfrac{69}{11}$
2)$\dfrac{80}{11}$
3)$\dfrac{90}{11}$
4)$\dfrac{92}{11}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\dfrac{69}{11}=6+\dfrac{3}{11}$

$\dfrac{80}{11}=7+\dfrac{3}{11}$

$\dfrac{90}{11}=8+\dfrac{2}{11}$

$\dfrac{92}{11}=8+\dfrac{4}{11}$

Нужен отрезок от 7 до 8. Целая часть помогает отсеять дроби вне него; отдельно учитываем включённые концы.

$7<\dfrac{80}{11}<8$

Только эта дробь лежит между указанными границами.

Ответ 2) $\dfrac{80}{11}$

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Сравнивай точные значения и границы промежутков. Округление может перенести число в соседний промежуток.

Задача 142

Тип 4

Условие

Между какими числами заключено число $\sqrt{28}$?

1)5 и 6
2)2 и 3
3)10 и 12
4)27 и 29

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$5^2=25$

$6^2=36$

$25<28<36$

Подкоренное число лежит строго между квадратами двух соседних целых чисел.

$5<\sqrt{28}<6$

На неотрицательных числах извлечение корня сохраняет порядок.

Ответ 1) 5 и 6

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Сравнивай точные значения и границы промежутков. Округление может перенести число в соседний промежуток.

Задача 143

Тип 5

Условие

Какое из следующих чисел заключено между числами $\dfrac{5}{17}$ и $\dfrac{7}{19}$?

1)0,2
2)0,3
3)0,4
4)0,5

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\dfrac{5}{17}=\dfrac{950}{3230}$

$0{,}3=\dfrac{969}{3230}$

$\dfrac{7}{19}=\dfrac{1190}{3230}$

Приводим все три числа к положительному общему знаменателю 3230. Так сравнение не зависит от округления.

$950<969<1190$

$\dfrac{5}{17}<0{,}3<\dfrac{7}{19}$

Числитель выбранного числа находится строго между двумя другими. Остальные варианты за эти границы не попадают.

Ответ 2) 0,3

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Сравнивай точные значения и границы промежутков. Округление может перенести число в соседний промежуток.

Задача 144

Тип 6

Условие

Одно из чисел $\dfrac{33}{7}$, $\dfrac{37}{7}$, $\dfrac{41}{7}$ и $\dfrac{43}{7}$ отмечено на числовой прямой точкой A. Какое это число?

1)$\dfrac{33}{7}$
2)$\dfrac{37}{7}$
3)$\dfrac{41}{7}$
4)$\dfrac{43}{7}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$5<A<5{,}5$

Сначала определяем цену деления. Указанные границы описывают область, где стоит точка, а не её точную координату.

$4{,}71<\dfrac{33}{7}<4{,}72$

$5{,}28<\dfrac{37}{7}<5{,}29$

$5{,}85<\dfrac{41}{7}<5{,}86$

$6{,}14<\dfrac{43}{7}<6{,}15$

Для дробей делим с остатком. Для корней сравниваем квадраты сотых. Строгие оценки позволяют различить близкие варианты.

$5<\dfrac{37}{7}<5{,}5$

Среди четырёх вариантов только эта дробь попадает в отмеченную область.

Ответ 2) $\dfrac{37}{7}$

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Определи цену деления по подписанным отметкам. Если рядом несколько вариантов, оцени их точнее, а не округляй до целых.

Задача 145

Тип 7

Условие

На координатной прямой отмечены точки $A$, $B$, $C$, $D$. Одна из них соответствует числу $\dfrac{73}{14}$. Какая это точка?

1)$A$
2)$B$
3)$C$
4)$D$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\dfrac{73}{14}=5+\dfrac{3}{14}$

$5{,}21<\dfrac{73}{14}<5{,}22$

Сначала находим целую часть, затем делим остаток на знаменатель до сотых. Знак приближения не подменяем равенством.

$A:\quad 5< A <5{,}5$

$B:\quad 5{,}5< B <6$

$C:\quad 6< C <6{,}5$

$D:\quad 6{,}5< D <7$

Мысленно отмечаем середины единичных отрезков и определяем, в какой половине находится каждая точка. Это границы областей, а не точные координаты точек.

$5{,}21<\dfrac{73}{14}<5{,}22$

Число попадает в область точки A. Остальные точки находятся в других областях.

Ответ 1) $A$

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Сначала проверь целую часть, затем положение внутри единичного отрезка. Точка за следующей целой отметкой не подходит.

Задача 146

Тип 8

Условие

На координатной прямой отмечены точки $A$, $B$, $C$, $D$. Одна из них соответствует числу $\sqrt{53}$. Какая это точка?

1)точка $A$
2)точка $B$
3)точка $C$
4)точка $D$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$7{,}28^2=52{,}9984$

$7{,}29^2=53{,}1441$

$52{,}9984<53<53{,}1441$

$7{,}28<\sqrt{53}<7{,}29$

Сравнение квадратов даёт оценку до сотых, не требуя вычислять корень точно.

$A:\quad 6< A <6{,}5$

$B:\quad 6{,}5< B <7$

$C:\quad 7< C <7{,}5$

$D:\quad 7{,}5< D <8$

Мысленно отмечаем середины единичных отрезков и определяем, в какой половине находится каждая точка. Это границы областей, а не точные координаты точек.

$7{,}28<\sqrt{53}<7{,}29$

Число попадает в область точки C. Остальные точки находятся в других областях.

Ответ 3) точка $C$

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Сначала проверь целую часть, затем положение внутри единичного отрезка. Точка за следующей целой отметкой не подходит.

Задача 147

Тип 9

Условие

На координатной прямой отмечены числа $x$ и $y$. Какое из приведённых утверждений для этих чисел верно?

1)$x + y > 0$
2)$xy^2 < 0$
3)$x - y < 0$
4)$x^2y > 0$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$y<0<x$

$|x|>|y|$

Точка слева от нуля задаёт отрицательное число. По расстояниям от нуля сравниваем модули; точные координаты не нужны.

$x + y>0$

При разных знаках знак суммы совпадает со знаком числа с большим модулем. Указанное в варианте неравенство верно.

$xy^2>0$

Квадрат ненулевого числа положителен. Знак произведения зависит от количества отрицательных множителей в нечётной степени. Указанное в варианте неравенство неверно.

$x - y>0$

Разность отрицательна, если уменьшаемое левее вычитаемого, и положительна, если правее. Указанное в варианте неравенство неверно.

$x^2y<0$

Квадрат ненулевого числа положителен. Знак произведения зависит от количества отрицательных множителей в нечётной степени. Указанное в варианте неравенство неверно.

Ответ 1) $x + y > 0$

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Квадрат отрицательного числа положителен. Для суммы чисел разных знаков нужно сравнить модули, а не только знаки.

Задача 148

Тип 10

Условие

На координатной прямой отмечено число $a$. Какое из утверждений для этого числа является верным?

1)$4 - a > 0$
2)$4 - a < 0$
3)$a - 3 < 0$
4)$a - 6 > 0$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$4<a<5$

Между отметками 0 и 1 один единичный отрезок. Отсчитываем деления и находим соседние целые для точки a.

$4-a<0$

Из границ видно, что a больше 4. Знак в варианте указан неверно.

$4-a<0$

Из границ видно, что a больше 4. Вариант верен.

$a-3>0$

Из границ видно, что a больше 3. Знак в варианте указан неверно.

$a-6<0$

Из границ видно, что a меньше 6. Знак в варианте указан неверно.

Ответ 2) $4 - a < 0$

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Разность a − n и разность n − a имеют противоположные знаки. Сначала установи порядок этих двух чисел.

Задача 149

Тип 13

Условие

На координатной прямой точки $A$, $B$, $C$ и $D$ соответствуют числам $-0,201$; $-0,012$; $-0,304$; $0,021$. Какой точке соответствует число $-0,304$?

1)$A$
2)$B$
3)$C$
4)$D$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$-0{,}201=\dfrac{-201}{1000}$

$-0{,}012=\dfrac{-12}{1000}$

$-0{,}304=\dfrac{-304}{1000}$

$0{,}021=\dfrac{21}{1000}$

У всех дробей положительный знаменатель 1000; сравниваем целые числители, учитывая знак.

$-0{,}304<-0{,}201<-0{,}012<0{,}021$

Отрицательные числа левее положительных. Из отрицательных меньше то, у которого модуль больше.

$A=-0{,}304$

$B=-0{,}201$

$C=-0{,}012$

$D=0{,}021$

На рисунке точки идут в порядке A, B, C, D. Числу -0,304 соответствует точка A.

Ответ 1) $A$

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: У отрицательных чисел больший модуль означает меньшее число. Нули в конце десятичной записи не меняют значение.

Задача 150

Тип 14

Условие

Одно из чисел $\sqrt{37}$, $\sqrt{47}$, $\sqrt{50}$, $\sqrt{62}$ отмечено на прямой точкой A. Какое это число?

1)$\sqrt{37}$
2)$\sqrt{47}$
3)$\sqrt{50}$
4)$\sqrt{62}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$6<A<6{,}5$

Сначала определяем цену деления. Указанные границы описывают область, где стоит точка, а не её точную координату.

$6{,}08<\sqrt{37}<6{,}09$

$6{,}85<\sqrt{47}<6{,}86$

$7{,}07<\sqrt{50}<7{,}08$

$7{,}87<\sqrt{62}<7{,}88$

Для дробей делим с остатком. Для корней сравниваем квадраты сотых. Строгие оценки позволяют различить близкие варианты.

$6^2=36$

$6{,}5^2=42{,}25$

$36<37<42{,}25$

$6<\sqrt{37}<6{,}5$

Только этот корень попадает в область точки A на рисунке.

Ответ 1) $\sqrt{37}$

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Определи цену деления по подписанным отметкам. Если рядом несколько вариантов, оцени их точнее, а не округляй до целых.

Задача 151

Тип 15

Условие

Какое из чисел $\sqrt{6}$, $\sqrt{7}$, $\sqrt{46}$ и $\sqrt{55}$ принадлежит промежутку [6; 7]?

1)$\sqrt{6}$
2)$\sqrt{7}$
3)$\sqrt{46}$
4)$\sqrt{55}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$6^2=36$

$7^2=49$

Квадратный корень возрастает: проверяем подкоренные числа между квадратами границ.

$6<36$

$7<36$

$46\in[36;49]$

$55>49$

В квадратный промежуток попадает только одно подкоренное число.

$6<\sqrt{46}<7$

Выбираем соответствующий корень, а в ответ записываем номер варианта.

Ответ 3) $\sqrt{46}$

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Сравнивай точные значения и границы промежутков. Округление может перенести число в соседний промежуток.

Задача 152

Тип 16

Условие

Какому из данных промежутков принадлежит число $\dfrac{5}{13}$?

1)[0,2; 0,3]
2)[0,3; 0,4]
3)[0,4; 0,5]
4)[0,5; 0,6]

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$5\cdot100=500$

$500=13\cdot38+6$

$0{,}38<\dfrac{5}{13}<0{,}39$

Деление до сотых с остатком даёт нижнюю границу; следующая сотая даёт верхнюю. Это строгие границы, а не округлённое равенство.

$0{,}3<\dfrac{5}{13}<0{,}4$

Дробь находится внутри этого промежутка. Квадратные скобки также включают его концы.

Ответ 2) [0,3; 0,4]

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Сравнивай точные значения и границы промежутков. Округление может перенести число в соседний промежуток.

Задача 153

Тип 2

Условие

Одно из чисел $\dfrac{10}{17}$, $\dfrac{11}{17}$, $\dfrac{13}{17}$ и $\dfrac{14}{17}$ отмечено на числовой прямой точкой A. Какое это число?

1)$\dfrac{10}{17}$
2)$\dfrac{11}{17}$
3)$\dfrac{13}{17}$
4)$\dfrac{14}{17}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$0{,}7<A<0{,}8$

Сначала определяем цену деления. Указанные границы описывают область, где стоит точка, а не её точную координату.

$0{,}58<\dfrac{10}{17}<0{,}59$

$0{,}64<\dfrac{11}{17}<0{,}65$

$0{,}76<\dfrac{13}{17}<0{,}77$

$0{,}82<\dfrac{14}{17}<0{,}83$

Для дробей делим с остатком. Для корней сравниваем квадраты сотых. Строгие оценки позволяют различить близкие варианты.

$0{,}7<\dfrac{13}{17}<0{,}8$

Среди четырёх вариантов только эта дробь попадает в отмеченную область.

Ответ 3) $\dfrac{13}{17}$

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Определи цену деления по подписанным отметкам. Если рядом несколько вариантов, оцени их точнее, а не округляй до целых.

Задача 154

Тип 4

Условие

Между какими числами заключено число $\sqrt{67}$?

1)8 и 9
2)22 и 24
3)4 и 5
4)66 и 68

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$8^2=64$

$9^2=81$

$64<67<81$

Подкоренное число лежит строго между квадратами двух соседних целых чисел.

$8<\sqrt{67}<9$

На неотрицательных числах извлечение корня сохраняет порядок.

Ответ 1) 8 и 9

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Сравнивай точные значения и границы промежутков. Округление может перенести число в соседний промежуток.

Задача 155

Тип 8

Условие

На координатной прямой отмечены точки $A$, $B$, $C$, $D$. Одна из них соответствует числу $\sqrt{76}$. Какая это точка?

1)точка $A$
2)точка $B$
3)точка $C$
4)точка $D$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$8{,}71^2=75{,}8641$

$8{,}72^2=76{,}0384$

$75{,}8641<76<76{,}0384$

$8{,}71<\sqrt{76}<8{,}72$

Сравнение квадратов даёт оценку до сотых, не требуя вычислять корень точно.

$A:\quad 8< A <8{,}5$

$B:\quad 8{,}5< B <9$

$C:\quad 9< C <9{,}5$

$D:\quad 9{,}5< D <10$

Мысленно отмечаем середины единичных отрезков и определяем, в какой половине находится каждая точка. Это границы областей, а не точные координаты точек.

$8{,}71<\sqrt{76}<8{,}72$

Число попадает в область точки B. Остальные точки находятся в других областях.

Ответ 2) точка $B$

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Сначала проверь целую часть, затем положение внутри единичного отрезка. Точка за следующей целой отметкой не подходит.

Задача 156

Тип 9

Условие

На координатной прямой отмечены числа $a$ и $b$. Какое из следующих неравенств верно?

1)$a + b < 0$
2)$a - b > 0$
3)$ab^2 > 0$
4)$ab < 0$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$a<0<b$

$|b|>|a|$

Точка слева от нуля задаёт отрицательное число. По расстояниям от нуля сравниваем модули; точные координаты не нужны.

$a + b>0$

При разных знаках знак суммы совпадает со знаком числа с большим модулем. Указанное в варианте неравенство неверно.

$a - b<0$

Разность отрицательна, если уменьшаемое левее вычитаемого, и положительна, если правее. Указанное в варианте неравенство неверно.

$ab^2<0$

Квадрат ненулевого числа положителен. Знак произведения зависит от количества отрицательных множителей в нечётной степени. Указанное в варианте неравенство неверно.

$ab<0$

Квадрат ненулевого числа положителен. Знак произведения зависит от количества отрицательных множителей в нечётной степени. Указанное в варианте неравенство верно.

Ответ 4) $ab < 0$

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Квадрат отрицательного числа положителен. Для суммы чисел разных знаков нужно сравнить модули, а не только знаки.

Задача 157

Тип 10

Условие

На координатной прямой отмечено число $a$. Какое из утверждений для этого числа является верным?

1)$5 - a < 0$
2)$a - 6 > 0$
3)$a - 5 < 0$
4)$4 - a > 0$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$4<a<5$

Между отметками 0 и 1 один единичный отрезок. Отсчитываем деления и находим соседние целые для точки a.

$5-a>0$

Из границ видно, что a меньше 5. Знак в варианте указан неверно.

$a-6<0$

Из границ видно, что a меньше 6. Знак в варианте указан неверно.

$a-5<0$

Из границ видно, что a меньше 5. Вариант верен.

$4-a<0$

Из границ видно, что a больше 4. Знак в варианте указан неверно.

Ответ 3) $a - 5 < 0$

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Разность a − n и разность n − a имеют противоположные знаки. Сначала установи порядок этих двух чисел.

Задача 158

Тип 13

Условие

На координатной прямой точки $A$, $B$, $C$ и $D$ соответствуют числам $0,508$; $0,85$; $-0,05$; $0,058$. Какой точке соответствует число $0,058$?

1)$A$
2)$B$
3)$C$
4)$D$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$0{,}508=\dfrac{508}{1000}$

$0{,}85=\dfrac{850}{1000}$

$-0{,}05=\dfrac{-50}{1000}$

$0{,}058=\dfrac{58}{1000}$

У всех дробей положительный знаменатель 1000; сравниваем целые числители, учитывая знак.

$-0{,}05<0{,}058<0{,}508<0{,}85$

Отрицательные числа левее положительных. Из отрицательных меньше то, у которого модуль больше.

$A=-0{,}05$

$B=0{,}058$

$C=0{,}508$

$D=0{,}85$

На рисунке точки идут в порядке A, B, C, D. Числу 0,058 соответствует точка B.

Ответ 2) $B$

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: У отрицательных чисел больший модуль означает меньшее число. Нули в конце десятичной записи не меняют значение.

Задача 159

Тип 15

Условие

Какое из чисел $\sqrt{7}$, $\sqrt{8}$, $\sqrt{42}$ и $\sqrt{61}$ принадлежит промежутку [7; 8]?

1)$\sqrt{7}$
2)$\sqrt{8}$
3)$\sqrt{42}$
4)$\sqrt{61}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$7^2=49$

$8^2=64$

Квадратный корень возрастает: проверяем подкоренные числа между квадратами границ.

$7<49$

$8<49$

$42<49$

$61\in[49;64]$

В квадратный промежуток попадает только одно подкоренное число.

$7<\sqrt{61}<8$

Выбираем соответствующий корень, а в ответ записываем номер варианта.

Ответ 4) $\sqrt{61}$

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Сравнивай точные значения и границы промежутков. Округление может перенести число в соседний промежуток.

Задача 160

Тип 16

Условие

Какому из данных промежутков принадлежит число $\dfrac{9}{13}$?

1)[0,5; 0,6]
2)[0,6; 0,7]
3)[0,7; 0,8]
4)[0,8; 0,9]

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$9\cdot100=900$

$900=13\cdot69+3$

$0{,}69<\dfrac{9}{13}<0{,}7$

Деление до сотых с остатком даёт нижнюю границу; следующая сотая даёт верхнюю. Это строгие границы, а не округлённое равенство.

$0{,}6<\dfrac{9}{13}<0{,}7$

Дробь находится внутри этого промежутка. Квадратные скобки также включают его концы.

Ответ 2) [0,6; 0,7]

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Сравнивай точные значения и границы промежутков. Округление может перенести число в соседний промежуток.

Задача 161

Тип 2

Условие

Одно из чисел $\dfrac{2}{7}$, $\dfrac{4}{7}$, $\dfrac{10}{7}$ и $\dfrac{11}{7}$ отмечено на числовой прямой точкой A. Какое это число?

1)$\dfrac{2}{7}$
2)$\dfrac{4}{7}$
3)$\dfrac{10}{7}$
4)$\dfrac{11}{7}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$0{,}2<A<0{,}3$

Сначала определяем цену деления. Указанные границы описывают область, где стоит точка, а не её точную координату.

$0{,}28<\dfrac{2}{7}<0{,}29$

$0{,}57<\dfrac{4}{7}<0{,}58$

$1{,}42<\dfrac{10}{7}<1{,}43$

$1{,}57<\dfrac{11}{7}<1{,}58$

Для дробей делим с остатком. Для корней сравниваем квадраты сотых. Строгие оценки позволяют различить близкие варианты.

$0{,}2<\dfrac{2}{7}<0{,}3$

Среди четырёх вариантов только эта дробь попадает в отмеченную область.

Ответ 1) $\dfrac{2}{7}$

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Определи цену деления по подписанным отметкам. Если рядом несколько вариантов, оцени их точнее, а не округляй до целых.

Задача 162

Тип 4

Условие

Между какими числами заключено число $\sqrt{89}$?

1)4 и 5
2)29 и 31
3)9 и 10
4)88 и 90

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$9^2=81$

$10^2=100$

$81<89<100$

Подкоренное число лежит строго между квадратами двух соседних целых чисел.

$9<\sqrt{89}<10$

На неотрицательных числах извлечение корня сохраняет порядок.

Ответ 3) 9 и 10

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Сравнивай точные значения и границы промежутков. Округление может перенести число в соседний промежуток.

Задача 163

Тип 8

Условие

На координатной прямой отмечены точки $A$, $B$, $C$, $D$. Одна из них соответствует числу $\sqrt{86}$. Какая это точка?

1)точка $A$
2)точка $B$
3)точка $C$
4)точка $D$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$9{,}27^2=85{,}9329$

$9{,}28^2=86{,}1184$

$85{,}9329<86<86{,}1184$

$9{,}27<\sqrt{86}<9{,}28$

Сравнение квадратов даёт оценку до сотых, не требуя вычислять корень точно.

$A:\quad 8< A <8{,}5$

$B:\quad 8{,}5< B <9$

$C:\quad 9< C <9{,}5$

$D:\quad 9{,}5< D <10$

Мысленно отмечаем середины единичных отрезков и определяем, в какой половине находится каждая точка. Это границы областей, а не точные координаты точек.

$9{,}27<\sqrt{86}<9{,}28$

Число попадает в область точки C. Остальные точки находятся в других областях.

Ответ 3) точка $C$

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Сначала проверь целую часть, затем положение внутри единичного отрезка. Точка за следующей целой отметкой не подходит.

Задача 164

Тип 9

Условие

На координатной прямой отмечены числа $x$ и $y$. Какое из следующих неравенств верно?

1)$y - x > 0$
2)$x^2y < 0$
3)$xy > 0$
4)$x + y < 0$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$x<0<y$

$|y|>|x|$

Точка слева от нуля задаёт отрицательное число. По расстояниям от нуля сравниваем модули; точные координаты не нужны.

$y - x>0$

Разность отрицательна, если уменьшаемое левее вычитаемого, и положительна, если правее. Указанное в варианте неравенство верно.

$x^2y>0$

Квадрат ненулевого числа положителен. Знак произведения зависит от количества отрицательных множителей в нечётной степени. Указанное в варианте неравенство неверно.

$xy<0$

Квадрат ненулевого числа положителен. Знак произведения зависит от количества отрицательных множителей в нечётной степени. Указанное в варианте неравенство неверно.

$x + y>0$

При разных знаках знак суммы совпадает со знаком числа с большим модулем. Указанное в варианте неравенство неверно.

Ответ 1) $y - x > 0$

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Квадрат отрицательного числа положителен. Для суммы чисел разных знаков нужно сравнить модули, а не только знаки.

Задача 165

Тип 10

Условие

На координатной прямой отмечено число $a$. Какое из утверждений для этого числа является верным?

1)$8 - a > 0$
2)$8 - a < 0$
3)$a - 7 < 0$
4)$a - 9 > 0$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$7<a<8$

Между отметками 0 и 1 один единичный отрезок. Отсчитываем деления и находим соседние целые для точки a.

$8-a>0$

Из границ видно, что a меньше 8. Вариант верен.

$8-a>0$

Из границ видно, что a меньше 8. Знак в варианте указан неверно.

$a-7>0$

Из границ видно, что a больше 7. Знак в варианте указан неверно.

$a-9<0$

Из границ видно, что a меньше 9. Знак в варианте указан неверно.

Ответ 1) $8 - a > 0$

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Разность a − n и разность n − a имеют противоположные знаки. Сначала установи порядок этих двух чисел.