С чего начать решение
Корень уравнения — число, при подстановке которого вместо $x$ получается верное равенство. Решить уравнение — значит найти все его корни.
В задании 9 нужно решить уравнение и записать числовой ответ. Если корней два, в условии уточнят, какой нужен: меньший или больший. Поэтому сначала дочитай задание до конца.
- Упрости запись. Раскрой скобки, если они есть, и приведи подобные слагаемые.
- Выбери способ. Если осталось только $x$ в первой степени — решай линейное уравнение. Если есть $x^2$ — квадратное.
- Найди все корни. Не теряй отрицательный корень при извлечении корня и ноль при вынесении $x$ за скобки.
- Проверь и запиши ответ. Подставь найденные числа в исходное уравнение и выбери нужное по условию.
Линейные уравнения
В линейном уравнении неизвестное встречается в первой степени. После упрощения его можно записать как $ax+b=0$, где a ≠ 0.
$ax=-b\qquad x=-\dfrac{b}{a}$
Как найти неизвестное
- Собери слагаемые с $x$ в одной части, числа — в другой. При переносе через знак равенства поменяй знак.
- Приведи подобные: сложи коэффициенты при $x$, отдельно посчитай числа.
- Раздели обе части на коэффициент при $x$.
Если есть скобки или дроби
Множитель перед скобками умножается на каждое слагаемое внутри. Минус перед скобками тоже множитель: он меняет все знаки в скобках на противоположные.
$k(u+v)=ku+kv$
Если в знаменателях стоят числа, умножь каждое слагаемое обеих частей на общий знаменатель. Затем решай обычное линейное уравнение.
Пример 1 из банка ФИПИ · Решение по шагам
Раскрываем скобки и находим корень
Решите уравнение:
$4(x + 8) = 2$
-
Раскрой скобки.
Умножь на 4 и неизвестное, и число 8.
$4x+32=2$
-
Перенеси число и раздели на 4.
$4x=2-32=-30$
$x=\dfrac{-30}{4}=-7{,}5$
Проверка. $4(-7{,}5+8)=4\cdot0{,}5=2$. Равенство верное.
Ответ: -7,5.
Запомни: одну и ту же операцию выполняют с обеими частями равенства. Делить можно только на ненулевое число.
Квадратные уравнения
Квадратное уравнение имеет вид $ax^2+bx+c=0$, где a ≠ 0. Буквы $a$, $b$ и $c$ обозначают числа — их выписывают вместе со знаками.
Универсальный способ — дискриминант
Перенеси все слагаемые в одну часть, чтобы справа получился ноль, и вычисли дискриминант:
$D=b^2-4ac$
- $D>0$ — два различных корня.
- $D=0$ — один корень.
- $D<0$ — действительных корней нет.
При $D\ge0$ используй формулу:
$x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt D}{2a}$
Знак $\pm$ означает два вычисления: с плюсом и с минусом. При $D=0$ результаты совпадут. На $2a$ делится весь числитель, а не только квадратный корень.
Пример 2 из банка ФИПИ · Решение по шагам
Находим два корня и выбираем больший
Решите уравнение:
$x^2 - 8x + 12 = 0$
Если корней несколько, в ответ запишите больший.
-
Выпиши коэффициенты со знаками.
$a=1,\quad b=-8,\quad c=12$
-
Вычисли дискриминант.
Он положителен — корней два.
$D=(-8)^2-4\cdot1\cdot12=16$
-
Найди оба корня.
$x_1=\dfrac{8-4}{2}=2$
$x_2=\dfrac{8+4}{2}=6$
-
Выбери больший корень.
По условию нужен больший из двух: это 6.
$2<6$
Проверка. $2^2-8\cdot2+12=0$ и $6^2-8\cdot6+12=0$. Оба корня подходят.
Ответ: 6.
Тот же пример — по теореме Виета
Ищем два числа с суммой $8$ и произведением $12$. Это $2$ и $6$: $2+6=8$, $2\cdot6=12$. Получили те же корни без вычисления дискриминанта.
Когда удобно использовать теорему Виета
Если перед $x^2$ стоит единица, уравнение имеет вид $x^2+px+q=0$. Для его корней:
$x_1+x_2=-p,\qquad x_1x_2=q$
Попробуй подобрать пару чисел с нужной суммой и произведением. Если подходящая пара сразу не находится, переходи к дискриминанту.
Неполные квадратные уравнения
Если в квадратном уравнении нет слагаемого с $x$ или свободного члена, его называют неполным. Обычно такое уравнение проще решить без дискриминанта.
Нет слагаемого с $x$: извлекаем корень
В уравнении $ax^2+c=0$ перенеси число вправо и раздели на $a$. Получится $x^2=A$.
- При $A>0$ два корня: $x=-\sqrt A$ и $x=\sqrt A$.
- При $A=0$ один корень: $x=0$.
- При $A<0$ действительных корней нет: квадрат числа не бывает отрицательным.
Пример 3 из банка ФИПИ · Решение по шагам
Не забываем отрицательный корень
Решите уравнение:
$x^2 - 64 = 0$
Если корней несколько, в ответ запишите меньший.
-
Оставь квадрат слева.
Перенеси −64 вправо с противоположным знаком.
$x^2=64$
-
Запиши оба корня.
И 8, и −8 при возведении в квадрат дают 64.
$x_1=-8,\qquad x_2=8$
-
Выбери меньший корень.
Отрицательное число меньше положительного.
$-8<8$
Проверка. $(-8)^2-64=0$ и $8^2-64=0$. Оба корня подходят.
Ответ: -8.
Нет свободного члена: выносим $x$ за скобки
В уравнении $ax^2+bx=0$ общий множитель — $x$. Выносим его за скобки:
$x(ax+b)=0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю. Значит, $x=0$ или $ax+b=0$.
Не дели обе части на $x$: он может равняться нулю. Такое деление потеряет один из корней.
Пример 4 из банка ФИПИ · Решение по шагам
Сохраняем нулевой корень
Решите уравнение:
$6x^2 = 48x$
Если корней несколько, в ответ запишите меньший.
-
Перенеси всё влево и вынеси x.
$6x^2-48x=0$
$x(6x-48)=0$
-
Приравняй каждый множитель к нулю.
$x=0$
$6x-48=0\quad\Rightarrow\quad x=8$
-
Сравни корни.
Нужен меньший корень: из 0 и 8 выбираем 0.
$0<8$
Проверка. При $x=0$ обе части равны $0$, при $x=8$ — $384$. Оба корня подходят.
Ответ: 0.
Перед записью в бланк
Как проверить и записать ответ
- Проверь подстановкой. Подставь каждый найденный корень в исходное уравнение. Левая и правая части должны совпасть.
- Перечитай условие. Если просят меньший корень, выбери меньшее число, учитывая знак. Например, из $-8$ и $8$ меньшее — $-8$.
- Запиши только число. Не добавляй «$x=$». Десятичную дробь пиши через запятую, сохрани минус и не округляй точный ответ.
Если неизвестное оказалось в знаменателе, сначала исключи значения, при которых знаменатель равен нулю. После решения проверь это ограничение: запрещённое значение не может быть корнем.