Сколько баллов даёт задание 10 ОГЭ по математике?

Максимум 1 балл — только за полностью верный числовой ответ. Задание 10 из части 1 с кратким ответом: развёрнутое решение на бланке записывать не нужно.

Какие типы задач встречаются в номере 10?

Классическая вероятность (доля благоприятных исходов), вероятность противоположного события, условная вероятность без возвращения, условие об итоге серии бросков монеты, дерево случайного опыта и диаграммы Эйлера — с вероятностями, количествами исходов или точками. Выбери тип кнопкой над задачами или решай все типы вперемешку. У каждой задачи есть пошаговый разбор.

Как решать задачи с деревом вероятностей?

Найди на дереве все пути, ведущие к нужному событию. Вдоль каждого пути перемножь вероятности переходов, а затем сложи вероятности всех найденных путей — это формула полной вероятности.

Как читать диаграмму Эйлера (круги) в задании 10?

Круги на диаграмме обозначают события A и B. Общая часть кругов — это A∩B (оба события сразу), а круг A целиком — это область «только A» плюс пересечение с B. Если указаны количества исходов или равновозможные точки, вероятность считается делением нужного количества на общее. Если указаны вероятности областей или отдельных точек, нужные вероятности складываются.

Чем условная вероятность отличается от классической в этом задании?

В условной вероятности учитывают только исходы, совместимые с известным условием. Например, после извлечения зелёного карандаша без возвращения пересчитывают оставшиеся карандаши. Если известен итог серии бросков монеты, учитывают расположения орлов и решек, соответствующие этому итогу.

Разбор 10 задания ОГЭ по математике: 17 типов с решениями

Задача 1

Тип 1

Условие

У бабушки 25 чашек: 7 с красными цветами, остальные с синими. Бабушка наливает чай в случайно выбранную чашку. Найдите вероятность того, что это будет чашка с синими цветами.

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$25-7=18$

Все чашки либо с красными, либо с синими цветами. Вычитаем красные из общего количества.

$P=\dfrac{18}{25}=0{,}72$

Все рассматриваемые исходы равновозможны. Делим число благоприятных исходов на общее число исходов.

Ответ 0,72

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Определи, о каком событии спрашивают, и включай в знаменатель все возможные исходы, а в числитель — только благоприятные.

Задача 2

Тип 2

Условие

На экзамене 50 билетов, Маша не выучила 10 из них. Найдите вероятность того, что ей попадётся выученный билет.

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$50-10=40$

Нужен выученный билет. Из всех билетов вычитаем невыученные.

$P=\dfrac{40}{50}=0{,}8$

Все рассматриваемые исходы равновозможны. Делим число благоприятных исходов на общее число исходов.

Ответ 0,8

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Определи, о каком событии спрашивают, и включай в знаменатель все возможные исходы, а в числитель — только благоприятные.

Задача 3

Тип 3

Условие

В фирме такси в данный момент свободно 10 машин: 1 чёрная, 1 жёлтая и 8 зелёных. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчику. Найдите вероятность того, что к нему приедет жёлтое такси.

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$1+1+8=10$

Нужен цвет «жёлтый»: таких машин 1. В модели задачи каждая из свободных машин имеет одинаковый шанс оказаться ближайшей.

$P=\dfrac{1}{10}=0{,}1$

Все рассматриваемые исходы равновозможны. Делим число благоприятных исходов на общее число исходов.

Ответ 0,1

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Определи, о каком событии спрашивают, и включай в знаменатель все возможные исходы, а в числитель — только благоприятные.

Задача 4

Тип 4

Условие

Вероятность того, что новая шариковая ручка пишет плохо (или не пишет), равна 0,29. Покупатель в магазине выбирает одну такую ручку. Найдите вероятность того, что эта ручка пишет хорошо.

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

Ручка либо пишет хорошо, либо пишет плохо или не пишет. Вероятность второго события равна 0,29; сумма вероятностей этих двух событий равна 1.

$P=1-0{,}29=0{,}71$

Вычитаем именно данную вероятность из 1, чтобы получить вероятность хорошей ручки.

Ответ 0,71

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Определи, о каком событии спрашивают, и включай в знаменатель все возможные исходы, а в числитель — только благоприятные.

Задача 5

Тип 5

Условие

В магазине канцтоваров продаётся 84 ручки: 22 красных, 9 зелёных, 41 фиолетовая, остальные синие и чёрные, их поровну. Найдите вероятность того, что случайно выбранная в этом магазине ручка будет красной или фиолетовой.

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$22+41=63$

Подходят цвета «красный» и «фиолетовый». Одна ручка не относится к обоим цветам сразу, поэтому числа складываем.

$P=\dfrac{63}{84}=0{,}75$

Все рассматриваемые исходы равновозможны. Делим число благоприятных исходов на общее число исходов.

Ответ 0,75

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Определи, о каком событии спрашивают, и включай в знаменатель все возможные исходы, а в числитель — только благоприятные.

Задача 6

Тип 6

Условие

В лыжных гонках участвуют 11 спортсменов из России, 6 спортсменов из Норвегии и 3 спортсмена из Швеции. Порядок, в котором спортсмены стартуют, определяется жребием. Найдите вероятность того, что первым будет стартовать спортсмен из России.

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$11+6+3=20$

Жребий равновероятно назначает первым любого участника, независимо от страны.

$11=11$

Для «не из» исключаем названную страну; для «или» складываем участников указанных стран.

$P=\dfrac{11}{20}=0{,}55$

Все рассматриваемые исходы равновозможны. Делим число благоприятных исходов на общее число исходов.

Ответ 0,55

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Определи, о каком событии спрашивают, и включай в знаменатель все возможные исходы, а в числитель — только благоприятные.

Задача 7

Тип 7

Условие

В среднем из 200 карманных фонариков, поступивших в продажу, четыре неисправны. Найдите вероятность того, что выбранный наудачу в магазине фонарик окажется исправен.

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$200-4=196$

Из 200 фонариков исключаем 4 неисправных.

$P=\dfrac{196}{200}=0{,}98$

Все рассматриваемые исходы равновозможны. Делим число благоприятных исходов на общее число исходов.

Ответ 0,98

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Определи, о каком событии спрашивают, и включай в знаменатель все возможные исходы, а в числитель — только благоприятные.

Задача 8

Тип 8

Условие

Родительский комитет закупил 25 пазлов для подарков детям в связи с окончанием учебного года, из них 21 с машинами и 4 с видами городов. Подарки распределяются случайным образом между 25 детьми, среди которых есть Саша. Найдите вероятность того, что Саше достанется пазл с машиной.

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$21+4=25$

Пазлов с машинами 21; каждый получает случайного адресата из 25 детей. Для одного названного ребёнка благоприятных назначений 21.

$P=\dfrac{21}{25}=0{,}84$

Все рассматриваемые исходы равновозможны. Делим число благоприятных исходов на общее число исходов.

Ответ 0,84

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Определи, о каком событии спрашивают, и включай в знаменатель все возможные исходы, а в числитель — только благоприятные.

Задача 9

Тип 9

Условие

Под классной доской в лотке лежат 28 чёрных и 7 синих маркеров для доски. Из коробки берут случайный маркер. Найдите вероятность того, что он окажется синим.

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$28+7=35$

Синих маркеров 7, а все возможные исходы включают оба цвета.

$P=\dfrac{7}{35}=0{,}2$

Все рассматриваемые исходы равновозможны. Делим число благоприятных исходов на общее число исходов.

Ответ 0,2

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Определи, о каком событии спрашивают, и включай в знаменатель все возможные исходы, а в числитель — только благоприятные.

Задача 10

Тип 10

Условие

Из ящика, где хранятся 10 жёлтых и 16 зелёных карандашей, не глядя достали два карандаша. Известно, что первый карандаш оказался зелёным. Найдите вероятность того, что второй карандаш тоже оказался зелёным.

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$10+16-1=25$

$16-1=15$

Первый зелёный карандаш уже вынули и не вернули: уменьшаются и общее число карандашей, и число зелёных.

$P=\dfrac{15}{25}=0{,}6$

Все рассматриваемые исходы равновозможны. Делим число благоприятных исходов на общее число исходов.

Ответ 0,6

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Первый зелёный карандаш — известное условие. Его вероятность повторно не умножаем. После извлечения уменьшаем и числитель, и знаменатель на 1.

Задача 11

Тип 11

Условие

Монету бросили 20 раз. Известно, что орёл выпал 9 раз. Найдите вероятность того, что при десятом по счёту броске выпала решка.

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$20-9=11$

Общее число орлов за все броски известно, поэтому число решек равно оставшемуся числу бросков.

При известном количестве орлов все расположения этих 9 орлов по 20 позициям равновероятны. Для любой фиксированной позиции вероятность решки равна доле решек; номер позиции её не меняет.

$P=\dfrac{11}{20}=0{,}55$

Все рассматриваемые исходы равновозможны. Делим число благоприятных исходов на общее число исходов.

Ответ 0,55

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Здесь известен итог всех бросков. Требуется условная вероятность для одной позиции при этом итоге, поэтому нельзя автоматически отвечать 0,5.

Задача 12

Тип 12

Условие

В случайном опыте $N = 30$ равновозможных элементарных событий, из которых $N(A) = 27$ благоприятствуют событию $A$. Вычислите вероятность события $A$.

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

Всего элементарных исходов 30, событию A благоприятствуют 27. Равновозможность исходов указана в условии.

$P=\dfrac{27}{30}=0{,}9$

Все рассматриваемые исходы равновозможны. Делим число благоприятных исходов на общее число исходов.

Ответ 0,9

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Определи, о каком событии спрашивают, и включай в знаменатель все возможные исходы, а в числитель — только благоприятные.

Задача 13

Тип 13

Условие

На рисунке изображено дерево случайного опыта. Найдите вероятность события $B$.

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$0{,}25+0{,}75=1$

$0{,}375+0{,}625=1$

$0{,}875+0{,}125=1$

Из корня ветвь A имеет вероятность 0,25, ветвь не-A — 0,75. После A ветвь B имеет вероятность 0,375, после не-A — 0,875. Суммы исходящих из каждой вершины вероятностей равны 1.

$0{,}25\cdot 0{,}375=0{,}09375$

$0{,}75\cdot 0{,}875=0{,}65625$

Вероятности вдоль одного пути перемножаются. Вероятность второй ветви условная: независимость A и B здесь не предполагается.

$P=0{,}09375+0{,}65625=0{,}75$

Событие B достигается либо через A, либо через не-A. Эти пути не пересекаются, поэтому вероятности складываем.

Ответ 0,75

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: По одному пути вероятности перемножают, а вероятности разных несовместных путей складывают. Используй обе ветви, ведущие к B.

Задача 14

Тип 14

Условие

На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий $A$ и $B$ в некотором случайном опыте. В каждой из четырёх областей указана вероятность соответствующего события. Найдите вероятность события $A \cap B$.

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$0{,}3+0{,}1+0{,}2+0{,}4=1$

только A — 0,3; пересечение A и B — 0,1; только B — 0,2; вне обоих событий — 0,4. Числа — вероятности. Сумма по всему пространству равна 1.

В нужное событие входят области: пересечение A и B. Пересечение A и B учитываем один раз; для дополнения берём области вне указанного события.

$P=0{,}1=0{,}1$

Складываем вероятности выбранных непересекающихся областей или отдельных точек. Число точек само по себе не задаёт вероятность, если их вероятности различаются.

Ответ 0,1

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Различай пересечение («и»), объединение («или») и дополнение («не»). Пересечение не считай дважды. Количество точек можно делить на общее число только при равновозможных исходах.

Задача 15

Тип 15

Условие

На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий $A$ и $B$ в некотором случайном опыте с равновозможными исходами. В каждой области указано, сколько исходов принадлежит этой области. Найдите вероятность события $A$.

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$18+6+12+24=60$

только A — 18; пересечение A и B — 6; только B — 12; вне обоих событий — 24. Числа — количества равновозможных исходов.

В нужное событие входят области: только A, пересечение A и B. Пересечение A и B учитываем один раз; для дополнения берём области вне указанного события.

$18+6=24$

Складываем количества исходов только в выбранных непересекающихся областях.

$P=\dfrac{24}{60}=0{,}4$

Все рассматриваемые исходы равновозможны. Делим число благоприятных исходов на общее число исходов.

Ответ 0,4

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Различай пересечение («и»), объединение («или») и дополнение («не»). Пересечение не считай дважды. Количество точек можно делить на общее число только при равновозможных исходах.

Задача 16

Тип 16

Условие

На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий $A$ и $B$ в некотором случайном опыте. Точками показаны все элементарные события и около каждого указана его вероятность. Найдите вероятность события $B$.

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$0{,}2+0{,}1=0{,}3$

$0{,}1+0{,}3=0{,}4$

$0{,}05+0{,}1=0{,}15$

$0{,}3+0{,}4+0{,}15+0{,}15=1$

только A — 0,3; пересечение A и B — 0,4; только B — 0,15; вне обоих событий — 0,15. Числа — вероятности. Сумма по всему пространству равна 1.

В нужное событие входят области: пересечение A и B, только B. Пересечение A и B учитываем один раз; для дополнения берём области вне указанного события.

$P=0{,}1+0{,}3+0{,}05+0{,}1=0{,}55$

Складываем вероятности выбранных непересекающихся областей или отдельных точек. Число точек само по себе не задаёт вероятность, если их вероятности различаются.

Ответ 0,55

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Различай пересечение («и»), объединение («или») и дополнение («не»). Пересечение не считай дважды. Количество точек можно делить на общее число только при равновозможных исходах.

Задача 17

Тип 17

Условие

На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий $A$ и $B$ в некотором случайном опыте. Точками показаны все равновозможные элементарные события опыта. Найдите вероятность события $B$.

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$3+2+4+1=10$

только A — 3; пересечение A и B — 2; только B — 4; вне обоих событий — 1. Числа — количества равновозможных исходов.

В нужное событие входят области: пересечение A и B, только B. Пересечение A и B учитываем один раз; для дополнения берём области вне указанного события.

$2+4=6$

Складываем количества исходов только в выбранных непересекающихся областях.

$P=\dfrac{6}{10}=0{,}6$

Все рассматриваемые исходы равновозможны. Делим число благоприятных исходов на общее число исходов.

Ответ 0,6

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Различай пересечение («и»), объединение («или») и дополнение («не»). Пересечение не считай дважды. Количество точек можно делить на общее число только при равновозможных исходах.

Задача 18

Тип 1

Условие

У бабушки 20 чашек: 10 с красными цветами, остальные с синими. Бабушка наливает чай в случайно выбранную чашку. Найдите вероятность того, что это будет чашка с синими цветами.

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$20-10=10$

Все чашки либо с красными, либо с синими цветами. Вычитаем красные из общего количества.

$P=\dfrac{10}{20}=0{,}5$

Все рассматриваемые исходы равновозможны. Делим число благоприятных исходов на общее число исходов.

Ответ 0,5

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Определи, о каком событии спрашивают, и включай в знаменатель все возможные исходы, а в числитель — только благоприятные.

Задача 19

Тип 2

Условие

На экзамене 20 билетов, Оскар не выучил 8 из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет.

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$20-8=12$

Нужен выученный билет. Из всех билетов вычитаем невыученные.

$P=\dfrac{12}{20}=0{,}6$

Все рассматриваемые исходы равновозможны. Делим число благоприятных исходов на общее число исходов.

Ответ 0,6

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Определи, о каком событии спрашивают, и включай в знаменатель все возможные исходы, а в числитель — только благоприятные.

Задача 20

Тип 3

Условие

В фирме такси в данный момент свободно 10 машин: 1 чёрная, 1 жёлтая и 8 зелёных. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчику. Найдите вероятность того, что к нему приедет жёлтое такси.

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$1+1+8=10$

Нужен цвет «жёлтый»: таких машин 1. В модели задачи каждая из свободных машин имеет одинаковый шанс оказаться ближайшей.

$P=\dfrac{1}{10}=0{,}1$

Все рассматриваемые исходы равновозможны. Делим число благоприятных исходов на общее число исходов.

Ответ 0,1

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Определи, о каком событии спрашивают, и включай в знаменатель все возможные исходы, а в числитель — только благоприятные.

Задача 21

Тип 4

Условие

Вероятность того, что новая шариковая ручка пишет плохо (или не пишет), равна 0,02. Покупатель в магазине выбирает одну такую ручку. Найдите вероятность того, что эта ручка пишет хорошо.

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

Ручка либо пишет хорошо, либо пишет плохо или не пишет. Вероятность второго события равна 0,02; сумма вероятностей этих двух событий равна 1.

$P=1-0{,}02=0{,}98$

Вычитаем именно данную вероятность из 1, чтобы получить вероятность хорошей ручки.

Ответ 0,98

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Определи, о каком событии спрашивают, и включай в знаменатель все возможные исходы, а в числитель — только благоприятные.

Задача 22

Тип 5

Условие

В магазине канцтоваров продаётся 206 ручек: 20 красных, 8 зелёных, 12 фиолетовых, остальные синие и чёрные, их поровну. Найдите вероятность того, что случайно выбранная в этом магазине ручка будет красной или синей.

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$206-20-8-12=166$

$166:2=83$

Остаток делится поровну между синими и чёрными ручками.

$20+83=103$

Подходят цвета «красный» и «синий». Одна ручка не относится к обоим цветам сразу, поэтому числа складываем.

$P=\dfrac{103}{206}=0{,}5$

Все рассматриваемые исходы равновозможны. Делим число благоприятных исходов на общее число исходов.

Ответ 0,5

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Определи, о каком событии спрашивают, и включай в знаменатель все возможные исходы, а в числитель — только благоприятные.

Задача 23

Тип 6

Условие

В лыжных гонках участвуют 7 спортсменов из России, 1 спортсмен из Норвегии и 2 спортсмена из Швеции. Порядок, в котором спортсмены стартуют, определяется жребием. Найдите вероятность того, что первым будет стартовать спортсмен из Норвегии.

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$7+1+2=10$

Жребий равновероятно назначает первым любого участника, независимо от страны.

$1=1$

Для «не из» исключаем названную страну; для «или» складываем участников указанных стран.

$P=\dfrac{1}{10}=0{,}1$

Все рассматриваемые исходы равновозможны. Делим число благоприятных исходов на общее число исходов.

Ответ 0,1

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Определи, о каком событии спрашивают, и включай в знаменатель все возможные исходы, а в числитель — только благоприятные.

Задача 24

Тип 7

Условие

В среднем из 150 карманных фонариков, поступивших в продажу, шесть неисправны. Найдите вероятность того, что выбранный наудачу в магазине фонарик окажется исправен.

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$150-6=144$

Из 150 фонариков исключаем 6 неисправных.

$P=\dfrac{144}{150}=0{,}96$

Все рассматриваемые исходы равновозможны. Делим число благоприятных исходов на общее число исходов.

Ответ 0,96

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Определи, о каком событии спрашивают, и включай в знаменатель все возможные исходы, а в числитель — только благоприятные.

Задача 25

Тип 8

Условие

Родительский комитет закупил 10 пазлов для подарков детям в связи с окончанием учебного года, из них 5 с машинами и 5 с видами городов. Подарки распределяются случайным образом между 10 детьми, среди которых есть Витя. Найдите вероятность того, что Вите достанется пазл с машиной.

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$5+5=10$

Пазлов с машинами 5; каждый получает случайного адресата из 10 детей. Для одного названного ребёнка благоприятных назначений 5.

$P=\dfrac{5}{10}=0{,}5$

Все рассматриваемые исходы равновозможны. Делим число благоприятных исходов на общее число исходов.

Ответ 0,5

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Определи, о каком событии спрашивают, и включай в знаменатель все возможные исходы, а в числитель — только благоприятные.

Задача 26

Тип 9

Условие

Под классной доской в лотке лежат 12 чёрных и 8 синих маркеров для доски. Из коробки берут случайный маркер. Найдите вероятность того, что он окажется синим.

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$12+8=20$

Синих маркеров 8, а все возможные исходы включают оба цвета.

$P=\dfrac{8}{20}=0{,}4$

Все рассматриваемые исходы равновозможны. Делим число благоприятных исходов на общее число исходов.

Ответ 0,4

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Определи, о каком событии спрашивают, и включай в знаменатель все возможные исходы, а в числитель — только благоприятные.

Задача 27

Тип 10

Условие

Из ящика, где хранятся 14 жёлтых и 12 зелёных карандашей, не глядя достали два карандаша. Известно, что первый карандаш оказался зелёным. Найдите вероятность того, что второй карандаш тоже оказался зелёным.

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$14+12-1=25$

$12-1=11$

Первый зелёный карандаш уже вынули и не вернули: уменьшаются и общее число карандашей, и число зелёных.

$P=\dfrac{11}{25}=0{,}44$

Все рассматриваемые исходы равновозможны. Делим число благоприятных исходов на общее число исходов.

Ответ 0,44

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Первый зелёный карандаш — известное условие. Его вероятность повторно не умножаем. После извлечения уменьшаем и числитель, и знаменатель на 1.

Задача 28

Тип 11

Условие

Монету бросили 20 раз. Известно, что орёл выпал 13 раз. Найдите вероятность того, что при девятом по счёту броске выпала решка.

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$20-13=7$

Общее число орлов за все броски известно, поэтому число решек равно оставшемуся числу бросков.

При известном количестве орлов все расположения этих 13 орлов по 20 позициям равновероятны. Для любой фиксированной позиции вероятность решки равна доле решек; номер позиции её не меняет.

$P=\dfrac{7}{20}=0{,}35$

Все рассматриваемые исходы равновозможны. Делим число благоприятных исходов на общее число исходов.

Ответ 0,35

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Здесь известен итог всех бросков. Требуется условная вероятность для одной позиции при этом итоге, поэтому нельзя автоматически отвечать 0,5.

Задача 29

Тип 12

Условие

В случайном опыте $N = 40$ равновозможных элементарных событий, из которых $N(A) = 28$ благоприятствуют событию $A$. Вычислите вероятность события $A$.

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

Всего элементарных исходов 40, событию A благоприятствуют 28. Равновозможность исходов указана в условии.

$P=\dfrac{28}{40}=0{,}7$

Все рассматриваемые исходы равновозможны. Делим число благоприятных исходов на общее число исходов.

Ответ 0,7

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Определи, о каком событии спрашивают, и включай в знаменатель все возможные исходы, а в числитель — только благоприятные.

Задача 30

Тип 13

Условие

На рисунке изображено дерево случайного опыта. Найдите вероятность события $B$.

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$0{,}25+0{,}75=1$

$0{,}4+0{,}6=1$

$0{,}2+0{,}8=1$

Из корня ветвь A имеет вероятность 0,25, ветвь не-A — 0,75. После A ветвь B имеет вероятность 0,4, после не-A — 0,2. Суммы исходящих из каждой вершины вероятностей равны 1.

$0{,}25\cdot 0{,}4=0{,}1$

$0{,}75\cdot 0{,}2=0{,}15$

Вероятности вдоль одного пути перемножаются. Вероятность второй ветви условная: независимость A и B здесь не предполагается.

$P=0{,}1+0{,}15=0{,}25$

Событие B достигается либо через A, либо через не-A. Эти пути не пересекаются, поэтому вероятности складываем.

Ответ 0,25

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: По одному пути вероятности перемножают, а вероятности разных несовместных путей складывают. Используй обе ветви, ведущие к B.

Задача 31

Тип 14

Условие

На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий $A$ и $B$ в некотором случайном опыте. В каждой из четырёх областей указана вероятность соответствующего события. Найдите вероятность события $B$.

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$0{,}3+0{,}1+0{,}2+0{,}4=1$

только A — 0,3; пересечение A и B — 0,1; только B — 0,2; вне обоих событий — 0,4. Числа — вероятности. Сумма по всему пространству равна 1.

В нужное событие входят области: пересечение A и B, только B. Пересечение A и B учитываем один раз; для дополнения берём области вне указанного события.

$P=0{,}1+0{,}2=0{,}3$

Складываем вероятности выбранных непересекающихся областей или отдельных точек. Число точек само по себе не задаёт вероятность, если их вероятности различаются.

Ответ 0,3

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Различай пересечение («и»), объединение («или») и дополнение («не»). Пересечение не считай дважды. Количество точек можно делить на общее число только при равновозможных исходах.

Задача 32

Тип 15

Условие

На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий $A$ и $B$ в некотором случайном опыте с равновозможными исходами. В каждой области указано, сколько исходов принадлежит этой области. Найдите вероятность события $A \cap \overline{B}$.

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$18+6+12+24=60$

только A — 18; пересечение A и B — 6; только B — 12; вне обоих событий — 24. Числа — количества равновозможных исходов.

В нужное событие входят области: только A. Пересечение A и B учитываем один раз; для дополнения берём области вне указанного события.

$18=18$

Складываем количества исходов только в выбранных непересекающихся областях.

$P=\dfrac{18}{60}=0{,}3$

Все рассматриваемые исходы равновозможны. Делим число благоприятных исходов на общее число исходов.

Ответ 0,3

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Различай пересечение («и»), объединение («или») и дополнение («не»). Пересечение не считай дважды. Количество точек можно делить на общее число только при равновозможных исходах.

Задача 33

Тип 16

Условие

На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий $A$ и $B$ в некотором случайном опыте. Точками показаны все элементарные события и около каждого указана его вероятность. Найдите вероятность события $\overline{A \cup B}$.

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$0{,}2+0{,}1=0{,}3$

$0{,}1+0{,}3=0{,}4$

$0{,}05+0{,}1=0{,}15$

$0{,}3+0{,}4+0{,}15+0{,}15=1$

только A — 0,3; пересечение A и B — 0,4; только B — 0,15; вне обоих событий — 0,15. Числа — вероятности. Сумма по всему пространству равна 1.

В нужное событие входят области: вне обоих событий. Пересечение A и B учитываем один раз; для дополнения берём области вне указанного события.

$P=0{,}05+0{,}1=0{,}15$

Складываем вероятности выбранных непересекающихся областей или отдельных точек. Число точек само по себе не задаёт вероятность, если их вероятности различаются.

Ответ 0,15

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Различай пересечение («и»), объединение («или») и дополнение («не»). Пересечение не считай дважды. Количество точек можно делить на общее число только при равновозможных исходах.

Задача 34

Тип 17

Условие

На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий $A$ и $B$ в некотором случайном опыте. Точками показаны все равновозможные элементарные события опыта. Найдите вероятность события $\overline{A} \cap B$.

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$3+2+4+1=10$

только A — 3; пересечение A и B — 2; только B — 4; вне обоих событий — 1. Числа — количества равновозможных исходов.

В нужное событие входят области: только B. Пересечение A и B учитываем один раз; для дополнения берём области вне указанного события.

$4=4$

Складываем количества исходов только в выбранных непересекающихся областях.

$P=\dfrac{4}{10}=0{,}4$

Все рассматриваемые исходы равновозможны. Делим число благоприятных исходов на общее число исходов.

Ответ 0,4

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Различай пересечение («и»), объединение («или») и дополнение («не»). Пересечение не считай дважды. Количество точек можно делить на общее число только при равновозможных исходах.

Задача 35

Тип 1

Условие

У бабушки 40 чашек: 28 с красными цветами, остальные с синими. Бабушка наливает чай в случайно выбранную чашку. Найдите вероятность того, что это будет чашка с синими цветами.

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$40-28=12$

Все чашки либо с красными, либо с синими цветами. Вычитаем красные из общего количества.

$P=\dfrac{12}{40}=0{,}3$

Все рассматриваемые исходы равновозможны. Делим число благоприятных исходов на общее число исходов.

Ответ 0,3

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Определи, о каком событии спрашивают, и включай в знаменатель все возможные исходы, а в числитель — только благоприятные.

Задача 36

Тип 2

Условие

На экзамене 40 билетов, Сеня не выучил 8 из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет.

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$40-8=32$

Нужен выученный билет. Из всех билетов вычитаем невыученные.

$P=\dfrac{32}{40}=0{,}8$

Все рассматриваемые исходы равновозможны. Делим число благоприятных исходов на общее число исходов.

Ответ 0,8

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Определи, о каком событии спрашивают, и включай в знаменатель все возможные исходы, а в числитель — только благоприятные.

Задача 37

Тип 3

Условие

В фирме такси в данный момент свободно 20 машин: 4 чёрных, 6 жёлтых и 10 зелёных. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчику. Найдите вероятность того, что к нему приедет жёлтое такси.

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$4+6+10=20$

Нужен цвет «жёлтый»: таких машин 6. В модели задачи каждая из свободных машин имеет одинаковый шанс оказаться ближайшей.

$P=\dfrac{6}{20}=0{,}3$

Все рассматриваемые исходы равновозможны. Делим число благоприятных исходов на общее число исходов.

Ответ 0,3

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Определи, о каком событии спрашивают, и включай в знаменатель все возможные исходы, а в числитель — только благоприятные.

Задача 38

Тип 4

Условие

Вероятность того, что новая шариковая ручка пишет плохо (или не пишет), равна 0,21. Покупатель в магазине выбирает одну такую ручку. Найдите вероятность того, что эта ручка пишет хорошо.

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

Ручка либо пишет хорошо, либо пишет плохо или не пишет. Вероятность второго события равна 0,21; сумма вероятностей этих двух событий равна 1.

$P=1-0{,}21=0{,}79$

Вычитаем именно данную вероятность из 1, чтобы получить вероятность хорошей ручки.

Ответ 0,79

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Определи, о каком событии спрашивают, и включай в знаменатель все возможные исходы, а в числитель — только благоприятные.

Задача 39

Тип 5

Условие

В магазине канцтоваров продаётся 145 ручек: 15 красных, 27 зелёных, 13 фиолетовых, остальные синие и чёрные, их поровну. Найдите вероятность того, что случайно выбранная в этом магазине ручка будет фиолетовой или синей.

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$145-15-27-13=90$

$90:2=45$

Остаток делится поровну между синими и чёрными ручками.

$13+45=58$

Подходят цвета «фиолетовый» и «синий». Одна ручка не относится к обоим цветам сразу, поэтому числа складываем.

$P=\dfrac{58}{145}=0{,}4$

Все рассматриваемые исходы равновозможны. Делим число благоприятных исходов на общее число исходов.

Ответ 0,4

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Определи, о каком событии спрашивают, и включай в знаменатель все возможные исходы, а в числитель — только благоприятные.

Задача 40

Тип 6

Условие

В лыжных гонках участвуют 11 спортсменов из России, 6 спортсменов из Норвегии и 3 спортсмена из Швеции. Порядок, в котором спортсмены стартуют, определяется жребием. Найдите вероятность того, что первым будет стартовать спортсмен не из России.

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$11+6+3=20$

Жребий равновероятно назначает первым любого участника, независимо от страны.

$20-11=9$

Для «не из» исключаем названную страну; для «или» складываем участников указанных стран.

$P=\dfrac{9}{20}=0{,}45$

Все рассматриваемые исходы равновозможны. Делим число благоприятных исходов на общее число исходов.

Ответ 0,45

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Определи, о каком событии спрашивают, и включай в знаменатель все возможные исходы, а в числитель — только благоприятные.

Задача 41

Тип 7

Условие

В среднем из 50 карманных фонариков, поступивших в продажу, три неисправны. Найдите вероятность того, что выбранный наудачу в магазине фонарик окажется неисправным.

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

Вопрос о неисправном фонарике. Таких фонариков 3 из 50, это и есть число благоприятных исходов.

$P=\dfrac{3}{50}=0{,}06$

Все рассматриваемые исходы равновозможны. Делим число благоприятных исходов на общее число исходов.

Ответ 0,06

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Определи, о каком событии спрашивают, и включай в знаменатель все возможные исходы, а в числитель — только благоприятные.

Задача 42

Тип 8

Условие

Родительский комитет закупил 25 пазлов для подарков детям в связи с окончанием учебного года, из них 22 с машинами и 3 с видами городов. Подарки распределяются случайным образом между 25 детьми, среди которых есть Коля. Найдите вероятность того, что Коле достанется пазл с машиной.

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$22+3=25$

Пазлов с машинами 22; каждый получает случайного адресата из 25 детей. Для одного названного ребёнка благоприятных назначений 22.

$P=\dfrac{22}{25}=0{,}88$

Все рассматриваемые исходы равновозможны. Делим число благоприятных исходов на общее число исходов.

Ответ 0,88

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Определи, о каком событии спрашивают, и включай в знаменатель все возможные исходы, а в числитель — только благоприятные.

Задача 43

Тип 9

Условие

Под классной доской в лотке лежат 14 чёрных и 26 синих маркеров для доски. Из коробки берут случайный маркер. Найдите вероятность того, что он окажется синим.

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$14+26=40$

Синих маркеров 26, а все возможные исходы включают оба цвета.

$P=\dfrac{26}{40}=0{,}65$

Все рассматриваемые исходы равновозможны. Делим число благоприятных исходов на общее число исходов.

Ответ 0,65

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Определи, о каком событии спрашивают, и включай в знаменатель все возможные исходы, а в числитель — только благоприятные.

Задача 44

Тип 10

Условие

Из ящика, где хранятся 7 жёлтых и 14 зелёных карандашей, не глядя достали два карандаша. Известно, что первый карандаш оказался зелёным. Найдите вероятность того, что второй карандаш тоже оказался зелёным.

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$7+14-1=20$

$14-1=13$

Первый зелёный карандаш уже вынули и не вернули: уменьшаются и общее число карандашей, и число зелёных.

$P=\dfrac{13}{20}=0{,}65$

Все рассматриваемые исходы равновозможны. Делим число благоприятных исходов на общее число исходов.

Ответ 0,65

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Первый зелёный карандаш — известное условие. Его вероятность повторно не умножаем. После извлечения уменьшаем и числитель, и знаменатель на 1.

Задача 45

Тип 11

Условие

Монету бросили 25 раз. Известно, что орёл выпал 15 раз. Найдите вероятность того, что при шестом по счёту броске выпала решка.

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$25-15=10$

Общее число орлов за все броски известно, поэтому число решек равно оставшемуся числу бросков.

При известном количестве орлов все расположения этих 15 орлов по 25 позициям равновероятны. Для любой фиксированной позиции вероятность решки равна доле решек; номер позиции её не меняет.

$P=\dfrac{10}{25}=0{,}4$

Все рассматриваемые исходы равновозможны. Делим число благоприятных исходов на общее число исходов.

Ответ 0,4

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Здесь известен итог всех бросков. Требуется условная вероятность для одной позиции при этом итоге, поэтому нельзя автоматически отвечать 0,5.

Задача 46

Тип 12

Условие

В случайном опыте $N = 20$ равновозможных элементарных событий, из которых $N(A) = 4$ благоприятствуют событию $A$. Вычислите вероятность события $A$.

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

Всего элементарных исходов 20, событию A благоприятствуют 4. Равновозможность исходов указана в условии.

$P=\dfrac{4}{20}=0{,}2$

Все рассматриваемые исходы равновозможны. Делим число благоприятных исходов на общее число исходов.

Ответ 0,2

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Определи, о каком событии спрашивают, и включай в знаменатель все возможные исходы, а в числитель — только благоприятные.

Задача 47

Тип 13

Условие

На рисунке изображено дерево случайного опыта. Найдите вероятность события $B$.

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$0{,}75+0{,}25=1$

$0{,}8+0{,}2=1$

$0{,}6+0{,}4=1$

Из корня ветвь A имеет вероятность 0,75, ветвь не-A — 0,25. После A ветвь B имеет вероятность 0,8, после не-A — 0,6. Суммы исходящих из каждой вершины вероятностей равны 1.

$0{,}75\cdot 0{,}8=0{,}6$

$0{,}25\cdot 0{,}6=0{,}15$

Вероятности вдоль одного пути перемножаются. Вероятность второй ветви условная: независимость A и B здесь не предполагается.

$P=0{,}6+0{,}15=0{,}75$

Событие B достигается либо через A, либо через не-A. Эти пути не пересекаются, поэтому вероятности складываем.

Ответ 0,75

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: По одному пути вероятности перемножают, а вероятности разных несовместных путей складывают. Используй обе ветви, ведущие к B.

Задача 48

Тип 14

Условие

На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий $A$ и $B$ в некотором случайном опыте. В каждой из четырёх областей указана вероятность соответствующего события. Найдите вероятность события $\overline{A} \cap B$.

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$0{,}3+0{,}1+0{,}2+0{,}4=1$

только A — 0,3; пересечение A и B — 0,1; только B — 0,2; вне обоих событий — 0,4. Числа — вероятности. Сумма по всему пространству равна 1.

В нужное событие входят области: только B. Пересечение A и B учитываем один раз; для дополнения берём области вне указанного события.

$P=0{,}2=0{,}2$

Складываем вероятности выбранных непересекающихся областей или отдельных точек. Число точек само по себе не задаёт вероятность, если их вероятности различаются.

Ответ 0,2

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Различай пересечение («и»), объединение («или») и дополнение («не»). Пересечение не считай дважды. Количество точек можно делить на общее число только при равновозможных исходах.

Задача 49

Тип 15

Условие

На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий $A$ и $B$ в некотором случайном опыте с равновозможными исходами. В каждой области указано, сколько исходов принадлежит этой области. Найдите вероятность события $\overline{A} \cup B$.

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$18+6+12+24=60$

только A — 18; пересечение A и B — 6; только B — 12; вне обоих событий — 24. Числа — количества равновозможных исходов.

В нужное событие входят области: пересечение A и B, только B, вне обоих событий. Пересечение A и B учитываем один раз; для дополнения берём области вне указанного события.

$6+12+24=42$

Складываем количества исходов только в выбранных непересекающихся областях.

$P=\dfrac{42}{60}=0{,}7$

Все рассматриваемые исходы равновозможны. Делим число благоприятных исходов на общее число исходов.

Ответ 0,7

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Различай пересечение («и»), объединение («или») и дополнение («не»). Пересечение не считай дважды. Количество точек можно делить на общее число только при равновозможных исходах.

Задача 50

Тип 16

Условие

На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий $A$ и $B$ в некотором случайном опыте. Точками показаны все элементарные события и около каждого указана его вероятность. Найдите вероятность события $A \cap B$.

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$0{,}2+0{,}1=0{,}3$

$0{,}1+0{,}3=0{,}4$

$0{,}05+0{,}1=0{,}15$

$0{,}3+0{,}4+0{,}15+0{,}15=1$

только A — 0,3; пересечение A и B — 0,4; только B — 0,15; вне обоих событий — 0,15. Числа — вероятности. Сумма по всему пространству равна 1.

В нужное событие входят области: пересечение A и B. Пересечение A и B учитываем один раз; для дополнения берём области вне указанного события.

$P=0{,}1+0{,}3=0{,}4$

Складываем вероятности выбранных непересекающихся областей или отдельных точек. Число точек само по себе не задаёт вероятность, если их вероятности различаются.

Ответ 0,4

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Различай пересечение («и»), объединение («или») и дополнение («не»). Пересечение не считай дважды. Количество точек можно делить на общее число только при равновозможных исходах.

Задача 51

Тип 17

Условие

На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий $A$ и $B$ в некотором случайном опыте. Точками показаны все равновозможные элементарные события опыта. Найдите вероятность события $A \cup B$.

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$3+2+4+1=10$

только A — 3; пересечение A и B — 2; только B — 4; вне обоих событий — 1. Числа — количества равновозможных исходов.

В нужное событие входят области: только A, пересечение A и B, только B. Пересечение A и B учитываем один раз; для дополнения берём области вне указанного события.

$3+2+4=9$

Складываем количества исходов только в выбранных непересекающихся областях.

$P=\dfrac{9}{10}=0{,}9$

Все рассматриваемые исходы равновозможны. Делим число благоприятных исходов на общее число исходов.

Ответ 0,9

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Различай пересечение («и»), объединение («или») и дополнение («не»). Пересечение не считай дважды. Количество точек можно делить на общее число только при равновозможных исходах.

Задача 52

Тип 1

Условие

У бабушки 10 чашек: 1 с красными цветами, остальные с синими. Бабушка наливает чай в случайно выбранную чашку. Найдите вероятность того, что это будет чашка с синими цветами.

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$10-1=9$

Все чашки либо с красными, либо с синими цветами. Вычитаем красные из общего количества.

$P=\dfrac{9}{10}=0{,}9$

Все рассматриваемые исходы равновозможны. Делим число благоприятных исходов на общее число исходов.

Ответ 0,9

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Определи, о каком событии спрашивают, и включай в знаменатель все возможные исходы, а в числитель — только благоприятные.

Задача 53

Тип 2

Условие

На экзамене 25 билетов, Костя не выучил 4 из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет.

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$25-4=21$

Нужен выученный билет. Из всех билетов вычитаем невыученные.

$P=\dfrac{21}{25}=0{,}84$

Все рассматриваемые исходы равновозможны. Делим число благоприятных исходов на общее число исходов.

Ответ 0,84

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Определи, о каком событии спрашивают, и включай в знаменатель все возможные исходы, а в числитель — только благоприятные.

Задача 54

Тип 3

Условие

В фирме такси в данный момент свободно 20 машин: 4 чёрных, 6 жёлтых и 10 зелёных. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчику. Найдите вероятность того, что к нему приедет жёлтое такси.

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$4+6+10=20$

Нужен цвет «жёлтый»: таких машин 6. В модели задачи каждая из свободных машин имеет одинаковый шанс оказаться ближайшей.

$P=\dfrac{6}{20}=0{,}3$

Все рассматриваемые исходы равновозможны. Делим число благоприятных исходов на общее число исходов.

Ответ 0,3

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Определи, о каком событии спрашивают, и включай в знаменатель все возможные исходы, а в числитель — только благоприятные.

Задача 55

Тип 4

Условие

Вероятность того, что новая шариковая ручка пишет плохо (или не пишет), равна 0,15. Покупатель в магазине выбирает одну такую ручку. Найдите вероятность того, что эта ручка пишет хорошо.

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

Ручка либо пишет хорошо, либо пишет плохо или не пишет. Вероятность второго события равна 0,15; сумма вероятностей этих двух событий равна 1.

$P=1-0{,}15=0{,}85$

Вычитаем именно данную вероятность из 1, чтобы получить вероятность хорошей ручки.

Ответ 0,85

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Определи, о каком событии спрашивают, и включай в знаменатель все возможные исходы, а в числитель — только благоприятные.

Задача 56

Тип 5

Условие

В магазине канцтоваров продаётся 100 ручек: 37 красных, 8 зелёных, 17 фиолетовых, остальные синие и чёрные, их поровну. Найдите вероятность того, что случайно выбранная в этом магазине ручка будет красной или синей.

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$100-37-8-17=38$

$38:2=19$

Остаток делится поровну между синими и чёрными ручками.

$37+19=56$

Подходят цвета «красный» и «синий». Одна ручка не относится к обоим цветам сразу, поэтому числа складываем.

$P=\dfrac{56}{100}=0{,}56$

Все рассматриваемые исходы равновозможны. Делим число благоприятных исходов на общее число исходов.

Ответ 0,56

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Определи, о каком событии спрашивают, и включай в знаменатель все возможные исходы, а в числитель — только благоприятные.

Задача 57

Тип 6

Условие

В лыжных гонках участвуют 7 спортсменов из России, 1 спортсмен из Швеции и 2 спортсмена из Норвегии. Порядок, в котором спортсмены стартуют, определяется жребием. Найдите вероятность того, что первым будет стартовать спортсмен из Швеции.

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$7+1+2=10$

Жребий равновероятно назначает первым любого участника, независимо от страны.

$1=1$

Для «не из» исключаем названную страну; для «или» складываем участников указанных стран.

$P=\dfrac{1}{10}=0{,}1$

Все рассматриваемые исходы равновозможны. Делим число благоприятных исходов на общее число исходов.

Ответ 0,1

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Определи, о каком событии спрашивают, и включай в знаменатель все возможные исходы, а в числитель — только благоприятные.

Задача 58

Тип 7

Условие

В среднем из 75 карманных фонариков, поступивших в продажу, девять неисправных. Найдите вероятность того, что выбранный наудачу в магазине фонарик окажется исправен.

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$75-9=66$

Из 75 фонариков исключаем 9 неисправных.

$P=\dfrac{66}{75}=0{,}88$

Все рассматриваемые исходы равновозможны. Делим число благоприятных исходов на общее число исходов.

Ответ 0,88

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Определи, о каком событии спрашивают, и включай в знаменатель все возможные исходы, а в числитель — только благоприятные.

Задача 59

Тип 8

Условие

Родительский комитет закупил 20 пазлов для подарков детям в связи с окончанием учебного года, из них 8 с машинами и 12 с видами городов. Подарки распределяются случайным образом между 20 детьми, среди которых есть Вася. Найдите вероятность того, что Васе достанется пазл с машиной.

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$8+12=20$

Пазлов с машинами 8; каждый получает случайного адресата из 20 детей. Для одного названного ребёнка благоприятных назначений 8.

$P=\dfrac{8}{20}=0{,}4$

Все рассматриваемые исходы равновозможны. Делим число благоприятных исходов на общее число исходов.

Ответ 0,4

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Определи, о каком событии спрашивают, и включай в знаменатель все возможные исходы, а в числитель — только благоприятные.

Задача 60

Тип 9

Условие

Под классной доской в лотке лежат 28 чёрных и 12 синих маркеров для доски. Из коробки берут случайный маркер. Найдите вероятность того, что он окажется синим.

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$28+12=40$

Синих маркеров 12, а все возможные исходы включают оба цвета.

$P=\dfrac{12}{40}=0{,}3$

Все рассматриваемые исходы равновозможны. Делим число благоприятных исходов на общее число исходов.

Ответ 0,3

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Определи, о каком событии спрашивают, и включай в знаменатель все возможные исходы, а в числитель — только благоприятные.

Задача 61

Тип 10

Условие

Из ящика, где хранятся 12 жёлтых и 9 зелёных карандашей, не глядя достали два карандаша. Известно, что первый карандаш оказался зелёным. Найдите вероятность того, что второй карандаш тоже оказался зелёным.

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$12+9-1=20$

$9-1=8$

Первый зелёный карандаш уже вынули и не вернули: уменьшаются и общее число карандашей, и число зелёных.

$P=\dfrac{8}{20}=0{,}4$

Все рассматриваемые исходы равновозможны. Делим число благоприятных исходов на общее число исходов.

Ответ 0,4

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Первый зелёный карандаш — известное условие. Его вероятность повторно не умножаем. После извлечения уменьшаем и числитель, и знаменатель на 1.

Задача 62

Тип 11

Условие

Монету бросили 25 раз. Известно, что орёл выпал 12 раз. Найдите вероятность того, что при пятом по счёту броске выпала решка.

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$25-12=13$

Общее число орлов за все броски известно, поэтому число решек равно оставшемуся числу бросков.

При известном количестве орлов все расположения этих 12 орлов по 25 позициям равновероятны. Для любой фиксированной позиции вероятность решки равна доле решек; номер позиции её не меняет.

$P=\dfrac{13}{25}=0{,}52$

Все рассматриваемые исходы равновозможны. Делим число благоприятных исходов на общее число исходов.

Ответ 0,52

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Здесь известен итог всех бросков. Требуется условная вероятность для одной позиции при этом итоге, поэтому нельзя автоматически отвечать 0,5.

Задача 63

Тип 12

Условие

В случайном опыте $N = 35$ равновозможных элементарных событий, из которых $N(A) = 21$ благоприятствуют событию $A$. Вычислите вероятность события $A$.

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

Всего элементарных исходов 35, событию A благоприятствуют 21. Равновозможность исходов указана в условии.

$P=\dfrac{21}{35}=0{,}6$

Все рассматриваемые исходы равновозможны. Делим число благоприятных исходов на общее число исходов.

Ответ 0,6

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Определи, о каком событии спрашивают, и включай в знаменатель все возможные исходы, а в числитель — только благоприятные.

Задача 64

Тип 13

Условие

На рисунке изображено дерево случайного опыта. Найдите вероятность события $B$.

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$0{,}25+0{,}75=1$

$0{,}8+0{,}2=1$

$0{,}4+0{,}6=1$

Из корня ветвь A имеет вероятность 0,25, ветвь не-A — 0,75. После A ветвь B имеет вероятность 0,8, после не-A — 0,4. Суммы исходящих из каждой вершины вероятностей равны 1.

$0{,}25\cdot 0{,}8=0{,}2$

$0{,}75\cdot 0{,}4=0{,}3$

Вероятности вдоль одного пути перемножаются. Вероятность второй ветви условная: независимость A и B здесь не предполагается.

$P=0{,}2+0{,}3=0{,}5$

Событие B достигается либо через A, либо через не-A. Эти пути не пересекаются, поэтому вероятности складываем.

Ответ 0,5

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: По одному пути вероятности перемножают, а вероятности разных несовместных путей складывают. Используй обе ветви, ведущие к B.

Задача 65

Тип 14

Условие

На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий $A$ и $B$ в некотором случайном опыте. В каждой из четырёх областей указана вероятность соответствующего события. Найдите вероятность события $A \cup \overline{B}$.

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$0{,}3+0{,}1+0{,}2+0{,}4=1$

только A — 0,3; пересечение A и B — 0,1; только B — 0,2; вне обоих событий — 0,4. Числа — вероятности. Сумма по всему пространству равна 1.

В нужное событие входят области: только A, пересечение A и B, вне обоих событий. Пересечение A и B учитываем один раз; для дополнения берём области вне указанного события.

$P=0{,}3+0{,}1+0{,}4=0{,}8$

Складываем вероятности выбранных непересекающихся областей или отдельных точек. Число точек само по себе не задаёт вероятность, если их вероятности различаются.

Ответ 0,8

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Различай пересечение («и»), объединение («или») и дополнение («не»). Пересечение не считай дважды. Количество точек можно делить на общее число только при равновозможных исходах.

Задача 66

Тип 15

Условие

На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий $A$ и $B$ в некотором случайном опыте с равновозможными исходами. В каждой области указано, сколько исходов принадлежит этой области. Найдите вероятность события $B$.

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$18+6+12+24=60$

только A — 18; пересечение A и B — 6; только B — 12; вне обоих событий — 24. Числа — количества равновозможных исходов.

В нужное событие входят области: пересечение A и B, только B. Пересечение A и B учитываем один раз; для дополнения берём области вне указанного события.

$6+12=18$

Складываем количества исходов только в выбранных непересекающихся областях.

$P=\dfrac{18}{60}=0{,}3$

Все рассматриваемые исходы равновозможны. Делим число благоприятных исходов на общее число исходов.

Ответ 0,3

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Различай пересечение («и»), объединение («или») и дополнение («не»). Пересечение не считай дважды. Количество точек можно делить на общее число только при равновозможных исходах.

Задача 67

Тип 16

Условие

На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий $A$ и $B$ в некотором случайном опыте. Точками показаны все элементарные события и около каждого указана его вероятность. Найдите вероятность события $A$.

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$0{,}2+0{,}1=0{,}3$

$0{,}1+0{,}3=0{,}4$

$0{,}05+0{,}1=0{,}15$

$0{,}3+0{,}4+0{,}15+0{,}15=1$

только A — 0,3; пересечение A и B — 0,4; только B — 0,15; вне обоих событий — 0,15. Числа — вероятности. Сумма по всему пространству равна 1.

В нужное событие входят области: только A, пересечение A и B. Пересечение A и B учитываем один раз; для дополнения берём области вне указанного события.

$P=0{,}2+0{,}1+0{,}1+0{,}3=0{,}7$

Складываем вероятности выбранных непересекающихся областей или отдельных точек. Число точек само по себе не задаёт вероятность, если их вероятности различаются.

Ответ 0,7

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Различай пересечение («и»), объединение («или») и дополнение («не»). Пересечение не считай дважды. Количество точек можно делить на общее число только при равновозможных исходах.

Задача 68

Тип 17

Условие

На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий $A$ и $B$ в некотором случайном опыте. Точками показаны все равновозможные элементарные события опыта. Найдите вероятность события $A \cap \overline{B}$.

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$3+2+4+1=10$

только A — 3; пересечение A и B — 2; только B — 4; вне обоих событий — 1. Числа — количества равновозможных исходов.

В нужное событие входят области: только A. Пересечение A и B учитываем один раз; для дополнения берём области вне указанного события.

$3=3$

Складываем количества исходов только в выбранных непересекающихся областях.

$P=\dfrac{3}{10}=0{,}3$

Все рассматриваемые исходы равновозможны. Делим число благоприятных исходов на общее число исходов.

Ответ 0,3

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Различай пересечение («и»), объединение («или») и дополнение («не»). Пересечение не считай дважды. Количество точек можно делить на общее число только при равновозможных исходах.

Задача 69

Тип 1

Условие

У бабушки 15 чашек: 6 с красными цветами, остальные с синими. Бабушка наливает чай в случайно выбранную чашку. Найдите вероятность того, что это будет чашка с синими цветами.

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$15-6=9$

Все чашки либо с красными, либо с синими цветами. Вычитаем красные из общего количества.

$P=\dfrac{9}{15}=0{,}6$

Все рассматриваемые исходы равновозможны. Делим число благоприятных исходов на общее число исходов.

Ответ 0,6

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Определи, о каком событии спрашивают, и включай в знаменатель все возможные исходы, а в числитель — только благоприятные.

Задача 70

Тип 2

Условие

На экзамене 20 билетов, Андрей не выучил 1 из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет.

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$20-1=19$

Нужен выученный билет. Из всех билетов вычитаем невыученные.

$P=\dfrac{19}{20}=0{,}95$

Все рассматриваемые исходы равновозможны. Делим число благоприятных исходов на общее число исходов.

Ответ 0,95

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Определи, о каком событии спрашивают, и включай в знаменатель все возможные исходы, а в числитель — только благоприятные.

Задача 71

Тип 3

Условие

В фирме такси в данный момент свободно 15 машин: 3 чёрных, 6 жёлтых и 6 зелёных. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчику. Найдите вероятность того, что к нему приедет жёлтое такси.

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$3+6+6=15$

Нужен цвет «жёлтый»: таких машин 6. В модели задачи каждая из свободных машин имеет одинаковый шанс оказаться ближайшей.

$P=\dfrac{6}{15}=0{,}4$

Все рассматриваемые исходы равновозможны. Делим число благоприятных исходов на общее число исходов.

Ответ 0,4

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Определи, о каком событии спрашивают, и включай в знаменатель все возможные исходы, а в числитель — только благоприятные.

Задача 72

Тип 4

Условие

Вероятность того, что новая шариковая ручка пишет плохо (или не пишет), равна 0,05. Покупатель в магазине выбирает одну такую ручку. Найдите вероятность того, что эта ручка пишет хорошо.

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

Ручка либо пишет хорошо, либо пишет плохо или не пишет. Вероятность второго события равна 0,05; сумма вероятностей этих двух событий равна 1.

$P=1-0{,}05=0{,}95$

Вычитаем именно данную вероятность из 1, чтобы получить вероятность хорошей ручки.

Ответ 0,95

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Определи, о каком событии спрашивают, и включай в знаменатель все возможные исходы, а в числитель — только благоприятные.

Задача 73

Тип 5

Условие

В магазине канцтоваров продаётся 120 ручек: 15 красных, 25 зелёных, 20 фиолетовых, остальные синие и чёрные, их поровну. Найдите вероятность того, что случайно выбранная в этом магазине ручка будет красной или чёрной. Ответ запишите в виде десятичной дроби.

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$120-15-25-20=60$

$60:2=30$

Остаток делится поровну между синими и чёрными ручками.

$15+30=45$

Подходят цвета «красный» и «чёрный». Одна ручка не относится к обоим цветам сразу, поэтому числа складываем.

$P=\dfrac{45}{120}=0{,}375$

Все рассматриваемые исходы равновозможны. Делим число благоприятных исходов на общее число исходов.

Ответ 0,375

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Определи, о каком событии спрашивают, и включай в знаменатель все возможные исходы, а в числитель — только благоприятные.

Задача 74

Тип 6

Условие

В лыжных гонках участвуют 7 спортсменов из России, 2 спортсмена из Швеции и 1 спортсмен из Норвегии. Порядок, в котором спортсмены стартуют, определяется жребием. Найдите вероятность того, что первым будет стартовать спортсмен не из России.

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$7+2+1=10$

Жребий равновероятно назначает первым любого участника, независимо от страны.

$10-7=3$

Для «не из» исключаем названную страну; для «или» складываем участников указанных стран.

$P=\dfrac{3}{10}=0{,}3$

Все рассматриваемые исходы равновозможны. Делим число благоприятных исходов на общее число исходов.

Ответ 0,3

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Определи, о каком событии спрашивают, и включай в знаменатель все возможные исходы, а в числитель — только благоприятные.

Задача 75

Тип 7

Условие

В среднем из 100 карманных фонариков, поступивших в продажу, восемь неисправных. Найдите вероятность того, что выбранный наудачу в магазине фонарик окажется исправен.

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$100-8=92$

Из 100 фонариков исключаем 8 неисправных.

$P=\dfrac{92}{100}=0{,}92$

Все рассматриваемые исходы равновозможны. Делим число благоприятных исходов на общее число исходов.

Ответ 0,92

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Определи, о каком событии спрашивают, и включай в знаменатель все возможные исходы, а в числитель — только благоприятные.

Задача 76

Тип 8

Условие

Родительский комитет закупил 10 пазлов для подарков детям в связи с окончанием учебного года, из них 2 с машинами и 8 с видами городов. Подарки распределяются случайным образом между 10 детьми, среди которых есть Андрюша. Найдите вероятность того, что Андрюше достанется пазл с машиной.

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$2+8=10$

Пазлов с машинами 2; каждый получает случайного адресата из 10 детей. Для одного названного ребёнка благоприятных назначений 2.

$P=\dfrac{2}{10}=0{,}2$

Все рассматриваемые исходы равновозможны. Делим число благоприятных исходов на общее число исходов.

Ответ 0,2

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Определи, о каком событии спрашивают, и включай в знаменатель все возможные исходы, а в числитель — только благоприятные.

Задача 77

Тип 9

Условие

Под классной доской в лотке лежат 18 чёрных и 22 синих маркера для доски. Из коробки берут случайный маркер. Найдите вероятность того, что он окажется синим.

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$18+22=40$

Синих маркеров 22, а все возможные исходы включают оба цвета.

$P=\dfrac{22}{40}=0{,}55$

Все рассматриваемые исходы равновозможны. Делим число благоприятных исходов на общее число исходов.

Ответ 0,55

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Определи, о каком событии спрашивают, и включай в знаменатель все возможные исходы, а в числитель — только благоприятные.

Задача 78

Тип 10

Условие

Из ящика, где хранятся 11 жёлтых и 10 зелёных карандашей, не глядя достали два карандаша. Известно, что первый карандаш оказался зелёным. Найдите вероятность того, что второй карандаш тоже оказался зелёным.

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$11+10-1=20$

$10-1=9$

Первый зелёный карандаш уже вынули и не вернули: уменьшаются и общее число карандашей, и число зелёных.

$P=\dfrac{9}{20}=0{,}45$

Все рассматриваемые исходы равновозможны. Делим число благоприятных исходов на общее число исходов.

Ответ 0,45

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Первый зелёный карандаш — известное условие. Его вероятность повторно не умножаем. После извлечения уменьшаем и числитель, и знаменатель на 1.

Задача 79

Тип 11

Условие

Монету бросили 20 раз. Известно, что орёл выпал 8 раз. Найдите вероятность того, что при тринадцатом по счёту броске выпала решка.

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$20-8=12$

Общее число орлов за все броски известно, поэтому число решек равно оставшемуся числу бросков.

При известном количестве орлов все расположения этих 8 орлов по 20 позициям равновероятны. Для любой фиксированной позиции вероятность решки равна доле решек; номер позиции её не меняет.

$P=\dfrac{12}{20}=0{,}6$

Все рассматриваемые исходы равновозможны. Делим число благоприятных исходов на общее число исходов.

Ответ 0,6

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Здесь известен итог всех бросков. Требуется условная вероятность для одной позиции при этом итоге, поэтому нельзя автоматически отвечать 0,5.

Задача 80

Тип 12

Условие

В случайном опыте $N = 28$ равновозможных элементарных событий, из которых $N(A) = 21$ благоприятствуют событию $A$. Вычислите вероятность события $A$.

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

Всего элементарных исходов 28, событию A благоприятствуют 21. Равновозможность исходов указана в условии.

$P=\dfrac{21}{28}=0{,}75$

Все рассматриваемые исходы равновозможны. Делим число благоприятных исходов на общее число исходов.

Ответ 0,75

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Определи, о каком событии спрашивают, и включай в знаменатель все возможные исходы, а в числитель — только благоприятные.

Задача 81

Тип 13

Условие

На рисунке изображено дерево случайного опыта. Найдите вероятность события $B$.

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$0{,}75+0{,}25=1$

$0{,}4+0{,}6=1$

$0{,}8+0{,}2=1$

Из корня ветвь A имеет вероятность 0,75, ветвь не-A — 0,25. После A ветвь B имеет вероятность 0,4, после не-A — 0,8. Суммы исходящих из каждой вершины вероятностей равны 1.

$0{,}75\cdot 0{,}4=0{,}3$

$0{,}25\cdot 0{,}8=0{,}2$

Вероятности вдоль одного пути перемножаются. Вероятность второй ветви условная: независимость A и B здесь не предполагается.

$P=0{,}3+0{,}2=0{,}5$

Событие B достигается либо через A, либо через не-A. Эти пути не пересекаются, поэтому вероятности складываем.

Ответ 0,5

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: По одному пути вероятности перемножают, а вероятности разных несовместных путей складывают. Используй обе ветви, ведущие к B.

Задача 82

Тип 14

Условие

На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий $A$ и $B$ в некотором случайном опыте. В каждой из четырёх областей указана вероятность соответствующего события. Найдите вероятность события $A \cup B$.

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$0{,}3+0{,}1+0{,}2+0{,}4=1$

только A — 0,3; пересечение A и B — 0,1; только B — 0,2; вне обоих событий — 0,4. Числа — вероятности. Сумма по всему пространству равна 1.

В нужное событие входят области: только A, пересечение A и B, только B. Пересечение A и B учитываем один раз; для дополнения берём области вне указанного события.

$P=0{,}3+0{,}1+0{,}2=0{,}6$

Складываем вероятности выбранных непересекающихся областей или отдельных точек. Число точек само по себе не задаёт вероятность, если их вероятности различаются.

Ответ 0,6

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Различай пересечение («и»), объединение («или») и дополнение («не»). Пересечение не считай дважды. Количество точек можно делить на общее число только при равновозможных исходах.

Задача 83

Тип 15

Условие

На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий $A$ и $B$ в некотором случайном опыте с равновозможными исходами. В каждой области указано, сколько исходов принадлежит этой области. Найдите вероятность события $\overline{A} \cap B$.

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$18+6+12+24=60$

только A — 18; пересечение A и B — 6; только B — 12; вне обоих событий — 24. Числа — количества равновозможных исходов.

В нужное событие входят области: только B. Пересечение A и B учитываем один раз; для дополнения берём области вне указанного события.

$12=12$

Складываем количества исходов только в выбранных непересекающихся областях.

$P=\dfrac{12}{60}=0{,}2$

Все рассматриваемые исходы равновозможны. Делим число благоприятных исходов на общее число исходов.

Ответ 0,2

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Различай пересечение («и»), объединение («или») и дополнение («не»). Пересечение не считай дважды. Количество точек можно делить на общее число только при равновозможных исходах.

Задача 84

Тип 16

Условие

На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий $A$ и $B$ в некотором случайном опыте. Точками показаны все элементарные события и около каждого указана его вероятность. Найдите вероятность события $\overline{A} \cap B$.

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$0{,}2+0{,}1=0{,}3$

$0{,}1+0{,}3=0{,}4$

$0{,}05+0{,}1=0{,}15$

$0{,}3+0{,}4+0{,}15+0{,}15=1$

только A — 0,3; пересечение A и B — 0,4; только B — 0,15; вне обоих событий — 0,15. Числа — вероятности. Сумма по всему пространству равна 1.

В нужное событие входят области: только B. Пересечение A и B учитываем один раз; для дополнения берём области вне указанного события.

$P=0{,}05+0{,}1=0{,}15$

Складываем вероятности выбранных непересекающихся областей или отдельных точек. Число точек само по себе не задаёт вероятность, если их вероятности различаются.

Ответ 0,15

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Различай пересечение («и»), объединение («или») и дополнение («не»). Пересечение не считай дважды. Количество точек можно делить на общее число только при равновозможных исходах.

Задача 85

Тип 17

Условие

На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий $A$ и $B$ в некотором случайном опыте. Точками показаны все равновозможные элементарные события опыта. Найдите вероятность события $A \cap B$.

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$3+2+4+1=10$

только A — 3; пересечение A и B — 2; только B — 4; вне обоих событий — 1. Числа — количества равновозможных исходов.

В нужное событие входят области: пересечение A и B. Пересечение A и B учитываем один раз; для дополнения берём области вне указанного события.

$2=2$

Складываем количества исходов только в выбранных непересекающихся областях.

$P=\dfrac{2}{10}=0{,}2$

Все рассматриваемые исходы равновозможны. Делим число благоприятных исходов на общее число исходов.

Ответ 0,2

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Различай пересечение («и»), объединение («или») и дополнение («не»). Пересечение не считай дважды. Количество точек можно делить на общее число только при равновозможных исходах.

Задача 86

Тип 1

Условие

У бабушки 25 чашек: 2 с красными цветами, остальные с синими. Бабушка наливает чай в случайно выбранную чашку. Найдите вероятность того, что это будет чашка с синими цветами.

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$25-2=23$

Все чашки либо с красными, либо с синими цветами. Вычитаем красные из общего количества.

$P=\dfrac{23}{25}=0{,}92$

Все рассматриваемые исходы равновозможны. Делим число благоприятных исходов на общее число исходов.

Ответ 0,92

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Определи, о каком событии спрашивают, и включай в знаменатель все возможные исходы, а в числитель — только благоприятные.

Задача 87

Тип 2

Условие

На экзамене 60 билетов, Сеня не выучил 12 из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет.

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$60-12=48$

Нужен выученный билет. Из всех билетов вычитаем невыученные.

$P=\dfrac{48}{60}=0{,}8$

Все рассматриваемые исходы равновозможны. Делим число благоприятных исходов на общее число исходов.

Ответ 0,8

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Определи, о каком событии спрашивают, и включай в знаменатель все возможные исходы, а в числитель — только благоприятные.

Задача 88

Тип 3

Условие

В фирме такси в данный момент свободно 15 машин: 3 чёрных, 6 жёлтых и 6 зелёных. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчику. Найдите вероятность того, что к нему приедет жёлтое такси.

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$3+6+6=15$

Нужен цвет «жёлтый»: таких машин 6. В модели задачи каждая из свободных машин имеет одинаковый шанс оказаться ближайшей.

$P=\dfrac{6}{15}=0{,}4$

Все рассматриваемые исходы равновозможны. Делим число благоприятных исходов на общее число исходов.

Ответ 0,4

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Определи, о каком событии спрашивают, и включай в знаменатель все возможные исходы, а в числитель — только благоприятные.

Задача 89

Тип 4

Условие

Вероятность того, что новая шариковая ручка пишет плохо (или не пишет), равна 0,13. Покупатель в магазине выбирает одну такую ручку. Найдите вероятность того, что эта ручка пишет хорошо.

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

Ручка либо пишет хорошо, либо пишет плохо или не пишет. Вероятность второго события равна 0,13; сумма вероятностей этих двух событий равна 1.

$P=1-0{,}13=0{,}87$

Вычитаем именно данную вероятность из 1, чтобы получить вероятность хорошей ручки.

Ответ 0,87

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Определи, о каком событии спрашивают, и включай в знаменатель все возможные исходы, а в числитель — только благоприятные.

Задача 90

Тип 5

Условие

В магазине канцтоваров продаётся 272 ручки: 11 красных, 37 зелёных, 26 фиолетовых, остальные синие и чёрные, их поровну. Найдите вероятность того, что случайно выбранная в этом магазине ручка будет зелёной или синей.

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$272-11-37-26=198$

$198:2=99$

Остаток делится поровну между синими и чёрными ручками.

$37+99=136$

Подходят цвета «зелёный» и «синий». Одна ручка не относится к обоим цветам сразу, поэтому числа складываем.

$P=\dfrac{136}{272}=0{,}5$

Все рассматриваемые исходы равновозможны. Делим число благоприятных исходов на общее число исходов.

Ответ 0,5

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Определи, о каком событии спрашивают, и включай в знаменатель все возможные исходы, а в числитель — только благоприятные.