Сколько баллов даёт задание 8 ОГЭ по математике?

Максимум 1 балл — только за полностью верный числовой ответ. Задание 8 из части 1 с кратким ответом: развёрнутое решение на бланке записывать не нужно.

Какие типы примеров встречаются в номере 8?

В банке ФИПИ 25 типов: действия со степенями (умножение, деление, степень в степени, степень произведения), действия с квадратными корнями, и оба этих навыка вместе с подстановкой числового значения переменной. Выбери тип кнопкой над задачами или решай все типы вперемешку. У каждой задачи есть пошаговый разбор.

Нужно ли пользоваться калькулятором?

Нет — калькулятор на ОГЭ недоступен. Все примеры задания 8 построены так, что при правильном применении свойств степеней и корней ответ получается точным целым числом или конечной десятичной дробью без громоздких вычислений.

Какие формулы важно знать для задания 8?

Свойства степеней: aᵐ·aⁿ=aᵐ⁺ⁿ, aᵐ:aⁿ=aᵐ⁻ⁿ, (aᵐ)ⁿ=aᵐⁿ, (ab)ⁿ=aⁿbⁿ, a⁻ⁿ=1/aⁿ. Свойства корней: √a·√b=√(ab), √a/√b=√(a/b), (√a)²=a, √(a²)=|a|.

Сколько времени отводить на номер 8?

Обычно 1–2 минуты. Если вычисления занимают заметно больше времени или числа быстро растут, стоит проверить, нельзя ли сначала упростить выражение по формулам и перепроверить порядок действий.

Разбор 8 задания ОГЭ по математике: 25 типов с решениями

Задача 1

Тип 1

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{15^8}{3^6 \cdot 5^7}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$15=3\cdot 5$

Степень произведения распределяем на множители. При возведении степени в степень показатели перемножаем; у обратной степени меняем знак показателя.

$\dfrac{15^8}{3^6 \cdot 5^7}=3^{8-6}\cdot 5^{8-7}$

$3^{8-6}\cdot 5^{8-7}=3^{2}\cdot 5^{1}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$3^{2}\cdot 5^{1}=9\cdot 5=45$

Вычисляем каждую оставшуюся степень и перемножаем результаты. Отрицательный показатель означает обратное число.

Ответ 45

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 2

Тип 2

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{2^9}{16}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$16=2^{4}$

Степень произведения распределяем на множители. При возведении степени в степень показатели перемножаем; у обратной степени меняем знак показателя.

$\dfrac{2^9}{16}=2^{9-4}$

$2^{9-4}=2^{5}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$2^{5}=32=32$

Вычисляем каждую оставшуюся степень и перемножаем результаты. Отрицательный показатель означает обратное число.

Ответ 32

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 3

Тип 3

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{(8^3)^{-7}}{8^{-23}}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(8^{3})^{-7}=8^{3\cdot(-7)}=8^{-21}$

Степень произведения распределяем на множители. При возведении степени в степень показатели перемножаем; у обратной степени меняем знак показателя.

$\dfrac{(8^3)^{-7}}{8^{-23}}=8^{-21+23}$

$8^{-21+23}=8^{2}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$8^{2}=64=64$

Вычисляем каждую оставшуюся степень и перемножаем результаты. Отрицательный показатель означает обратное число.

Ответ 64

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 4

Тип 4

Условие

Найдите значение выражения:

$3^{-8} \cdot (3^6)^2$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(3^{6})^{2}=3^{6\cdot(2)}=3^{12}$

Степень произведения распределяем на множители. При возведении степени в степень показатели перемножаем; у обратной степени меняем знак показателя.

$3^{-8} \cdot (3^6)^2=3^{-8+12}$

$3^{-8+12}=3^{4}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$3^{4}=81=81$

Вычисляем каждую оставшуюся степень и перемножаем результаты. Отрицательный показатель означает обратное число.

Ответ 81

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 5

Тип 5

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{(3 \cdot 8)^7}{3^7 \cdot 8^5}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(3\cdot 8)^{7}=3^{7}\cdot8^{7}$

Степень произведения распределяем на множители. При возведении степени в степень показатели перемножаем; у обратной степени меняем знак показателя.

$\dfrac{(3 \cdot 8)^7}{3^7 \cdot 8^5}=3^{7-7}\cdot 8^{7-5}$

$3^{7-7}\cdot 8^{7-5}=3^{0}\cdot 8^{2}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$3^{0}\cdot 8^{2}=1\cdot 64=64$

Вычисляем каждую оставшуюся степень и перемножаем результаты. Отрицательный показатель означает обратное число.

Ответ 64

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 6

Тип 6

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{1}{7^{-14}} \cdot \dfrac{1}{7^{13}}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\dfrac{1}{7^{-14}}=7^{14}$

$\dfrac{1}{7^{13}}=7^{-13}$

Степень произведения распределяем на множители. При возведении степени в степень показатели перемножаем; у обратной степени меняем знак показателя.

$\dfrac{1}{7^{-14}} \cdot \dfrac{1}{7^{13}}=7^{14-13}$

$7^{14-13}=7^{1}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$7^{1}=7=7$

Вычисляем каждую оставшуюся степень и перемножаем результаты. Отрицательный показатель означает обратное число.

Ответ 7

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 7

Тип 7

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{\sqrt{22} \cdot \sqrt{33}}{\sqrt{6}}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\sqrt{22}\cdot\sqrt{33}=\sqrt{22\cdot 33}=\sqrt{726}$

Подкоренные числа неотрицательны, поэтому произведение корней равно корню из произведения.

$\dfrac{\sqrt{22} \cdot \sqrt{33}}{\sqrt{6}}=\sqrt{\dfrac{726}{6}}=\sqrt{121}$

Делитель √6 положителен. Под корнем делим 726 на 6.

$\sqrt{121}=11$

$(11)^2=121$

Берём неотрицательный корень. Проверяем его возведением в квадрат.

Ответ 11

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 8

Тип 8

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{90}{(3\sqrt{5})^2}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(3\cdot \sqrt{5})^{2}=3^2\cdot 5=45$

В квадрат возводим и коэффициент, и корень. Квадрат квадратного корня возвращает подкоренное число.

$\dfrac{90}{(3\sqrt{5})^2}=\dfrac{90}{45}$

Сохраняем порядок деления: квадрат мог стоять как в числителе, так и в знаменателе.

$\dfrac{90}{45}=2$

Делим числитель на ненулевой знаменатель.

Ответ 2

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 9

Тип 9

Условие

Найдите значение выражения:

$5\sqrt{7} \cdot 6\sqrt{3} \cdot \sqrt{21}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$5\sqrt{7} \cdot 6\sqrt{3} \cdot \sqrt{21}=30\cdot\sqrt{7\cdot 3\cdot 21}$

Числовые коэффициенты перемножаем отдельно. Неотрицательные подкоренные числа объединяем под одним корнем.

$\sqrt{7\cdot 3\cdot 21}=\sqrt{441}=21$

$(21)^2=441$

Подкоренное произведение — полный квадрат. Проверяем найденный неотрицательный корень.

$30\cdot 21=630$

Возвращаем множитель, вынесенный перед корнем.

Ответ 630

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 10

Тип 10

Условие

Найдите значение выражения:

$\sqrt{4^5}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$4^{5}=1024$

Сначала выполняем возведение в степень. Получаем полный квадрат.

$\sqrt{4^5}=\sqrt{1024}=32$

$(32)^2=1024$

Квадратный корень неотрицателен. Его квадрат должен совпадать с подкоренным числом.

Ответ 32

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 11

Тип 11

Условие

Найдите значение выражения:

$(\sqrt{50} + \sqrt{2}) \cdot \sqrt{2}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\sqrt{50}=\sqrt{5^2\cdot 2}=5\sqrt{2}$

Число 50 представляем как 25 · 2; корень из 25 равен 5.

$5\sqrt{2}+\sqrt{2}=(5+1)\sqrt{2}=6\sqrt{2}$

Подкоренные части одинаковы. Складываем или вычитаем только коэффициенты.

$(\sqrt{50} + \sqrt{2}) \cdot \sqrt{2}=6\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=6\cdot 2=12$

Произведение одинаковых квадратных корней равно подкоренному числу.

Ответ 12

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 12

Тип 12

Условие

Найдите значение выражения:

$\sqrt{7 \cdot 45} \cdot \sqrt{35}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\sqrt{7 \cdot 45} \cdot \sqrt{35}=1\cdot\sqrt{315\cdot 35}$

Числовые коэффициенты перемножаем отдельно. Неотрицательные подкоренные числа объединяем под одним корнем.

$\sqrt{315\cdot 35}=\sqrt{11025}=105$

$(105)^2=11025$

Подкоренное произведение — полный квадрат. Проверяем найденный неотрицательный корень.

$1\cdot 105=105$

Возвращаем множитель, вынесенный перед корнем.

Ответ 105

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 13

Тип 13

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{1}{4 + \sqrt{15}} + \dfrac{1}{4 - \sqrt{15}}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(4+\sqrt{15})(4-(\sqrt{15}))=1$

Сопряжённые множители отличаются знаком между слагаемыми. Их произведение равно квадрату первого слагаемого минус квадрат второго. Знаменатель ненулевой.

$(4-(\sqrt{15}))+(4+\sqrt{15})=8$

У первой дроби дополнительный множитель равен второму знаменателю, у второй — первому. При вычитании меняются знаки всех слагаемых в скобках.

$\dfrac{1}{4 + \sqrt{15}} + \dfrac{1}{4 - \sqrt{15}}=\dfrac{8}{1}=8$

Делим полученный числитель на общий знаменатель.

Ответ 8

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 14

Тип 14

Условие

Найдите значение выражения:

$(\sqrt{13} - 3)^2 + 6\sqrt{13}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(\sqrt{13}-(3))^{2}=13-6\sqrt{13}+9$

В квадрате двучлена есть три слагаемых: квадрат первого, удвоенное произведение со знаком и квадрат второго.

$(\sqrt{13} - 3)^2 + 6\sqrt{13}=13-6\sqrt{13}+9+6\cdot \sqrt{13}=13+9$

Слагаемые с одним и тем же корнем имеют противоположные коэффициенты и дают ноль.

$13+9=22$

После сокращения корней остаётся обычная сумма.

Ответ 22

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 15

Тип 15

Условие

Найдите значение выражения:

$(\sqrt{17} - 3)(\sqrt{17} + 3)$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(\sqrt{17} - 3)(\sqrt{17} + 3)=(\sqrt{17})^{2}-(3)^{2}$

Произведение разности и суммы одних и тех же чисел равно разности их квадратов.

$(\sqrt{17})^{2}=17$

$(3)^{2}=9$

Квадрат квадратного корня равен подкоренному числу; обычное число тоже возводим в квадрат.

$17-9=8$

Если второе число больше первого, разность отрицательна — знак минус нужно сохранить.

Ответ 8

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 16

Тип 16

Условие

Найдите значение выражения:

$a^{21} \cdot a^{-8} : a^{11}$

При $a=5$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$a^{21} \cdot a^{-8} : a^{11}=a^{21-8-11}$

$a^{21-8-11}=a^{2}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$a^{2}=a^{2}$

$a^{2}=(5)^{2}=25$

Ненулевая величина в нулевой степени равна единице. Подставляем значения только после сокращения степеней.

Ответ 25

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 17

Тип 17

Условие

Найдите значение выражения:

$(a^5)^{-2} \cdot a^{13} : a^{-4}$

При $a=2$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(a^{5})^{-2}=a^{5\cdot(-2)}=a^{-10}$

Степень произведения распределяем на множители. При возведении степени в степень показатели перемножаем; у обратной степени меняем знак показателя.

$(a^5)^{-2} \cdot a^{13} : a^{-4}=a^{-10+13+4}$

$a^{-10+13+4}=a^{7}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$a^{7}=a^{7}$

$a^{7}=(2)^{7}=128$

Ненулевая величина в нулевой степени равна единице. Подставляем значения только после сокращения степеней.

Ответ 128

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 18

Тип 18

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{a^{17} \cdot a^{-6}}{a^9}$

При $a=4$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\dfrac{a^{17} \cdot a^{-6}}{a^9}=a^{17-6-9}$

$a^{17-6-9}=a^{2}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$a^{2}=a^{2}$

$a^{2}=(4)^{2}=16$

Ненулевая величина в нулевой степени равна единице. Подставляем значения только после сокращения степеней.

Ответ 16

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 19

Тип 19

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{(a^8)^2}{a^{11}}$

При $a=2$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(a^{8})^{2}=a^{8\cdot(2)}=a^{16}$

Степень произведения распределяем на множители. При возведении степени в степень показатели перемножаем; у обратной степени меняем знак показателя.

$\dfrac{(a^8)^2}{a^{11}}=a^{16-11}$

$a^{16-11}=a^{5}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$a^{5}=a^{5}$

$a^{5}=(2)^{5}=32$

Ненулевая величина в нулевой степени равна единице. Подставляем значения только после сокращения степеней.

Ответ 32

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 20

Тип 20

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{a^{21} \cdot (b^9)^2}{(a \cdot b)^{18}}$

При $a=5{,}\quad b=\sqrt{5}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(b^{9})^{2}=b^{9\cdot(2)}=b^{18}$

$(a\cdot b)^{18}=a^{18}\cdotb^{18}$

Степень произведения распределяем на множители. При возведении степени в степень показатели перемножаем; у обратной степени меняем знак показателя.

$\dfrac{a^{21} \cdot (b^9)^2}{(a \cdot b)^{18}}=a^{21-18}\cdot b^{18-18}$

$a^{21-18}\cdot b^{18-18}=a^{3}\cdot b^{0}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$a^{3}\cdot b^{0}=a^{3}$

$a^{3}=(5)^{3}=125$

Ненулевая величина в нулевой степени равна единице. Подставляем значения только после сокращения степеней.

Ответ 125

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 21

Тип 21

Условие

Найдите значение выражения:

$\sqrt{\dfrac{25a^{19}}{a^{11}}}$

При $a=2$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\dfrac{25\cdot a^{19}}{a^{11}}=25 a^{8}$

В произведении степени с одним основанием складываем, в частном вычитаем. Подкоренные показатели получаются чётными.

$\sqrt{\dfrac{25a^{19}}{a^{11}}}=5\cdot |a^{4}|$

Корень из квадрата равен модулю, а не самому выражению. Коэффициент извлекаем как неотрицательный квадратный корень.

$5\cdot |a^{4}|=5 a^{4}$

Все заданные переменные положительны, поэтому их целые степени, произведения и частные тоже положительны. Модуль можно раскрыть без изменения знака; знаменатели ненулевые.

$5 a^{4}=5 (2)^{4}=80$

Подставляем данные из условия после упрощения.

Ответ 80

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Квадратный корень неотрицателен: √(u²) = |u|. Раскрывай модуль только после проверки знака выражения и не допускай нулевого знаменателя.

Задача 22

Тип 22

Условие

Найдите значение выражения:

$\sqrt{\dfrac{16x^8}{y^6}}$

При $x=2{,}\quad y=4$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\dfrac{16\cdot x^{8}}{y^{6}}=\dfrac{16 x^{8}}{y^{6}}$

В произведении степени с одним основанием складываем, в частном вычитаем. Подкоренные показатели получаются чётными.

$\sqrt{\dfrac{16x^8}{y^6}}=4\cdot |\dfrac{x^{4}}{y^{3}}|$

Корень из квадрата равен модулю, а не самому выражению. Коэффициент извлекаем как неотрицательный квадратный корень.

$4\cdot |\dfrac{x^{4}}{y^{3}}|=\dfrac{4 x^{4}}{y^{3}}$

Все заданные переменные положительны, поэтому их целые степени, произведения и частные тоже положительны. Модуль можно раскрыть без изменения знака; знаменатели ненулевые.

$\dfrac{4 x^{4}}{y^{3}}=\dfrac{4 (2)^{4}}{(4)^{3}}=1$

Подставляем данные из условия после упрощения.

Ответ 1

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Квадратный корень неотрицателен: √(u²) = |u|. Раскрывай модуль только после проверки знака выражения и не допускай нулевого знаменателя.

Задача 23

Тип 23

Условие

Найдите значение выражения:

$\sqrt{\dfrac{1}{9} \cdot x^2y^6}$

При $x=7{,}\quad y=3$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\dfrac{1}{9}\cdot x^{2}\cdot y^{6}=\dfrac{x^{2} y^{6}}{9}$

В произведении степени с одним основанием складываем, в частном вычитаем. Подкоренные показатели получаются чётными.

$\sqrt{\dfrac{1}{9} \cdot x^2y^6}=\dfrac{1}{3}\cdot |x y^{3}|$

Корень из квадрата равен модулю, а не самому выражению. Коэффициент извлекаем как неотрицательный квадратный корень.

$\dfrac{1}{3}\cdot |x y^{3}|=\dfrac{x y^{3}}{3}$

Все заданные переменные положительны, поэтому их целые степени, произведения и частные тоже положительны. Модуль можно раскрыть без изменения знака; знаменатели ненулевые.

$\dfrac{x y^{3}}{3}=\dfrac{(7) (3)^{3}}{3}=63$

Подставляем данные из условия после упрощения.

Ответ 63

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Квадратный корень неотрицателен: √(u²) = |u|. Раскрывай модуль только после проверки знака выражения и не допускай нулевого знаменателя.

Задача 24

Тип 24

Условие

Найдите значение выражения:

$\sqrt{(-a)^8 \cdot a^2}$

При $a=2$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(-(a))^{8}=a^{8}$

Чётная степень числа и противоположного ему числа одинакова. Минус внутри скобок не сохраняется.

$(-(a))^{8}\cdot a^{2}=a^{10}$

В произведении степени с одним основанием складываем, в частном вычитаем. Подкоренные показатели получаются чётными.

$\sqrt{(-a)^8 \cdot a^2}=1\cdot |a^{5}|$

Корень из квадрата равен модулю, а не самому выражению. Коэффициент извлекаем как неотрицательный квадратный корень.

$1\cdot |a^{5}|=a^{5}$

Все заданные переменные положительны, поэтому их целые степени, произведения и частные тоже положительны. Модуль можно раскрыть без изменения знака; знаменатели ненулевые.

$a^{5}=(2)^{5}=32$

Подставляем данные из условия после упрощения.

Ответ 32

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Квадратный корень неотрицателен: √(u²) = |u|. Раскрывай модуль только после проверки знака выражения и не допускай нулевого знаменателя.

Задача 25

Тип 25

Условие

Найдите значение выражения:

$\sqrt{a^2 - 10ab + 25b^2}$

При $a=7{,}\quad b=2$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$a^{2}-(10\cdot a\cdot b)+25\cdot b^{2}=(a - 5 b)^2$

Проверяем крайние квадраты и средний член: он должен равняться удвоенному произведению с нужным знаком.

$\sqrt{a^2 - 10ab + 25b^2}=|a - 5 b|$

Квадратный корень неотрицателен. Поэтому √(u²) = |u|, даже если u после подстановки отрицательно.

$a - 5 b=(7) - 5 (2)=-3$

Смешанные числа сначала переводим в неправильные дроби. Минусы подставляем в скобках и сохраняем порядок действий.

$|-3|=3$

Модуль отрицательного числа меняет его знак, модуль неотрицательного оставляет число прежним.

Ответ 3

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Квадратный корень неотрицателен: √(u²) = |u|. Раскрывай модуль только после проверки знака выражения и не допускай нулевого знаменателя.

Задача 26

Тип 1

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{2^{-3} \cdot 2^{19}}{2^{13}}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\dfrac{2^{-3} \cdot 2^{19}}{2^{13}}=2^{-3+19-13}$

$2^{-3+19-13}=2^{3}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$2^{3}=8=8$

Вычисляем каждую оставшуюся степень и перемножаем результаты. Отрицательный показатель означает обратное число.

Ответ 8

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 27

Тип 2

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{3^5}{27}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$27=3^{3}$

Степень произведения распределяем на множители. При возведении степени в степень показатели перемножаем; у обратной степени меняем знак показателя.

$\dfrac{3^5}{27}=3^{5-3}$

$3^{5-3}=3^{2}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$3^{2}=9=9$

Вычисляем каждую оставшуюся степень и перемножаем результаты. Отрицательный показатель означает обратное число.

Ответ 9

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 28

Тип 3

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{(3^4)^{-3}}{3^{-15}}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(3^{4})^{-3}=3^{4\cdot(-3)}=3^{-12}$

Степень произведения распределяем на множители. При возведении степени в степень показатели перемножаем; у обратной степени меняем знак показателя.

$\dfrac{(3^4)^{-3}}{3^{-15}}=3^{-12+15}$

$3^{-12+15}=3^{3}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$3^{3}=27=27$

Вычисляем каждую оставшуюся степень и перемножаем результаты. Отрицательный показатель означает обратное число.

Ответ 27

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 29

Тип 4

Условие

Найдите значение выражения:

$11^{-5} \cdot (11^3)^2$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(11^{3})^{2}=11^{3\cdot(2)}=11^{6}$

Степень произведения распределяем на множители. При возведении степени в степень показатели перемножаем; у обратной степени меняем знак показателя.

$11^{-5} \cdot (11^3)^2=11^{-5+6}$

$11^{-5+6}=11^{1}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$11^{1}=11=11$

Вычисляем каждую оставшуюся степень и перемножаем результаты. Отрицательный показатель означает обратное число.

Ответ 11

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 30

Тип 5

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{(2 \cdot 3)^5}{2^4 \cdot 3^3}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(2\cdot 3)^{5}=2^{5}\cdot3^{5}$

Степень произведения распределяем на множители. При возведении степени в степень показатели перемножаем; у обратной степени меняем знак показателя.

$\dfrac{(2 \cdot 3)^5}{2^4 \cdot 3^3}=2^{5-4}\cdot 3^{5-3}$

$2^{5-4}\cdot 3^{5-3}=2^{1}\cdot 3^{2}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$2^{1}\cdot 3^{2}=2\cdot 9=18$

Вычисляем каждую оставшуюся степень и перемножаем результаты. Отрицательный показатель означает обратное число.

Ответ 18

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 31

Тип 6

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{1}{2^{-19}} \cdot \dfrac{1}{2^{16}}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\dfrac{1}{2^{-19}}=2^{19}$

$\dfrac{1}{2^{16}}=2^{-16}$

Степень произведения распределяем на множители. При возведении степени в степень показатели перемножаем; у обратной степени меняем знак показателя.

$\dfrac{1}{2^{-19}} \cdot \dfrac{1}{2^{16}}=2^{19-16}$

$2^{19-16}=2^{3}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$2^{3}=8=8$

Вычисляем каждую оставшуюся степень и перемножаем результаты. Отрицательный показатель означает обратное число.

Ответ 8

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 32

Тип 7

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{\sqrt{51} \cdot \sqrt{12}}{\sqrt{17}}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\sqrt{51}\cdot\sqrt{12}=\sqrt{51\cdot 12}=\sqrt{612}$

Подкоренные числа неотрицательны, поэтому произведение корней равно корню из произведения.

$\dfrac{\sqrt{51} \cdot \sqrt{12}}{\sqrt{17}}=\sqrt{\dfrac{612}{17}}=\sqrt{36}$

Делитель √17 положителен. Под корнем делим 612 на 17.

$\sqrt{36}=6$

$(6)^2=36$

Берём неотрицательный корень. Проверяем его возведением в квадрат.

Ответ 6

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 33

Тип 8

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{(4\sqrt{3})^2}{60}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(4\cdot \sqrt{3})^{2}=4^2\cdot 3=48$

В квадрат возводим и коэффициент, и корень. Квадрат квадратного корня возвращает подкоренное число.

$\dfrac{(4\sqrt{3})^2}{60}=\dfrac{48}{60}$

Сохраняем порядок деления: квадрат мог стоять как в числителе, так и в знаменателе.

$\dfrac{48}{60}=\dfrac{4}{5}$

Делим числитель на ненулевой знаменатель.

$\dfrac{4}{5}=0{,}8$

Делим числитель на знаменатель и записываем конечную десятичную дробь.

Ответ 0,8

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 34

Тип 9

Условие

Найдите значение выражения:

$4\sqrt{17} \cdot 5\sqrt{2} \cdot \sqrt{34}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$4\sqrt{17} \cdot 5\sqrt{2} \cdot \sqrt{34}=20\cdot\sqrt{17\cdot 2\cdot 34}$

Числовые коэффициенты перемножаем отдельно. Неотрицательные подкоренные числа объединяем под одним корнем.

$\sqrt{17\cdot 2\cdot 34}=\sqrt{1156}=34$

$(34)^2=1156$

Подкоренное произведение — полный квадрат. Проверяем найденный неотрицательный корень.

$20\cdot 34=680$

Возвращаем множитель, вынесенный перед корнем.

Ответ 680

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 35

Тип 10

Условие

Найдите значение выражения:

$\sqrt{5^6}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$5^{6}=15625$

Сначала выполняем возведение в степень. Получаем полный квадрат.

$\sqrt{5^6}=\sqrt{15625}=125$

$(125)^2=15625$

Квадратный корень неотрицателен. Его квадрат должен совпадать с подкоренным числом.

Ответ 125

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 36

Тип 11

Условие

Найдите значение выражения:

$(\sqrt{12} - \sqrt{3}) \cdot \sqrt{3}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\sqrt{12}=\sqrt{2^2\cdot 3}=2\sqrt{3}$

Число 12 представляем как 4 · 3; корень из 4 равен 2.

$2\sqrt{3}-\sqrt{3}=(2-1)\sqrt{3}=1\sqrt{3}$

Подкоренные части одинаковы. Складываем или вычитаем только коэффициенты.

$(\sqrt{12} - \sqrt{3}) \cdot \sqrt{3}=1\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=1\cdot 3=3$

Произведение одинаковых квадратных корней равно подкоренному числу.

Ответ 3

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 37

Тип 12

Условие

Найдите значение выражения:

$\sqrt{3 \cdot 32} \cdot \sqrt{6}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\sqrt{3 \cdot 32} \cdot \sqrt{6}=1\cdot\sqrt{96\cdot 6}$

Числовые коэффициенты перемножаем отдельно. Неотрицательные подкоренные числа объединяем под одним корнем.

$\sqrt{96\cdot 6}=\sqrt{576}=24$

$(24)^2=576$

Подкоренное произведение — полный квадрат. Проверяем найденный неотрицательный корень.

$1\cdot 24=24$

Возвращаем множитель, вынесенный перед корнем.

Ответ 24

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 38

Тип 13

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{1}{\sqrt{17} - 4} - \dfrac{1}{\sqrt{17} + 4}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(\sqrt{17}-(4))(\sqrt{17}+4)=1$

Сопряжённые множители отличаются знаком между слагаемыми. Их произведение равно квадрату первого слагаемого минус квадрат второго. Знаменатель ненулевой.

$(\sqrt{17}+4)-(\sqrt{17}-(4))=8$

У первой дроби дополнительный множитель равен второму знаменателю, у второй — первому. При вычитании меняются знаки всех слагаемых в скобках.

$\dfrac{1}{\sqrt{17} - 4} - \dfrac{1}{\sqrt{17} + 4}=\dfrac{8}{1}=8$

Делим полученный числитель на общий знаменатель.

Ответ 8

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 39

Тип 14

Условие

Найдите значение выражения:

$(\sqrt{11} + 3)^2 - 6\sqrt{11}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(\sqrt{11}+3)^{2}=11+6\sqrt{11}+9$

В квадрате двучлена есть три слагаемых: квадрат первого, удвоенное произведение со знаком и квадрат второго.

$(\sqrt{11} + 3)^2 - 6\sqrt{11}=11+6\sqrt{11}+9-6\cdot \sqrt{11}=11+9$

Слагаемые с одним и тем же корнем имеют противоположные коэффициенты и дают ноль.

$11+9=20$

После сокращения корней остаётся обычная сумма.

Ответ 20

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 40

Тип 15

Условие

Найдите значение выражения:

$(\sqrt{19} - \sqrt{2})(\sqrt{19} + \sqrt{2})$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(\sqrt{19} - \sqrt{2})(\sqrt{19} + \sqrt{2})=(\sqrt{19})^{2}-(\sqrt{2})^{2}$

Произведение разности и суммы одних и тех же чисел равно разности их квадратов.

$(\sqrt{19})^{2}=19$

$(\sqrt{2})^{2}=2$

Квадрат квадратного корня равен подкоренному числу; обычное число тоже возводим в квадрат.

$19-2=17$

Если второе число больше первого, разность отрицательна — знак минус нужно сохранить.

Ответ 17

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 41

Тип 16

Условие

Найдите значение выражения:

$a^8 \cdot a^{17} : a^{20}$

При $a=2$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$a^8 \cdot a^{17} : a^{20}=a^{8+17-20}$

$a^{8+17-20}=a^{5}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$a^{5}=a^{5}$

$a^{5}=(2)^{5}=32$

Ненулевая величина в нулевой степени равна единице. Подставляем значения только после сокращения степеней.

Ответ 32

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 42

Тип 17

Условие

Найдите значение выражения:

$a^{-13} \cdot (a^8)^2$

При $a=3$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(a^{8})^{2}=a^{8\cdot(2)}=a^{16}$

Степень произведения распределяем на множители. При возведении степени в степень показатели перемножаем; у обратной степени меняем знак показателя.

$a^{-13} \cdot (a^8)^2=a^{-13+16}$

$a^{-13+16}=a^{3}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$a^{3}=a^{3}$

$a^{3}=(3)^{3}=27$

Ненулевая величина в нулевой степени равна единице. Подставляем значения только после сокращения степеней.

Ответ 27

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 43

Тип 18

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{a^9 \cdot a^{12}}{a^{18}}$

При $a=4$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\dfrac{a^9 \cdot a^{12}}{a^{18}}=a^{9+12-18}$

$a^{9+12-18}=a^{3}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$a^{3}=a^{3}$

$a^{3}=(4)^{3}=64$

Ненулевая величина в нулевой степени равна единице. Подставляем значения только после сокращения степеней.

Ответ 64

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 44

Тип 19

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{(a^7)^2}{a^{12}}$

При $a=5$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(a^{7})^{2}=a^{7\cdot(2)}=a^{14}$

Степень произведения распределяем на множители. При возведении степени в степень показатели перемножаем; у обратной степени меняем знак показателя.

$\dfrac{(a^7)^2}{a^{12}}=a^{14-12}$

$a^{14-12}=a^{2}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$a^{2}=a^{2}$

$a^{2}=(5)^{2}=25$

Ненулевая величина в нулевой степени равна единице. Подставляем значения только после сокращения степеней.

Ответ 25

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 45

Тип 20

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{a^{23} \cdot (b^5)^4}{(a \cdot b)^{20}}$

При $a=2{,}\quad b=\sqrt{2}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(b^{5})^{4}=b^{5\cdot(4)}=b^{20}$

$(a\cdot b)^{20}=a^{20}\cdotb^{20}$

Степень произведения распределяем на множители. При возведении степени в степень показатели перемножаем; у обратной степени меняем знак показателя.

$\dfrac{a^{23} \cdot (b^5)^4}{(a \cdot b)^{20}}=a^{23-20}\cdot b^{20-20}$

$a^{23-20}\cdot b^{20-20}=a^{3}\cdot b^{0}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$a^{3}\cdot b^{0}=a^{3}$

$a^{3}=(2)^{3}=8$

Ненулевая величина в нулевой степени равна единице. Подставляем значения только после сокращения степеней.

Ответ 8

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 46

Тип 21

Условие

Найдите значение выражения:

$\sqrt{\dfrac{16a^{14}}{a^8}}$

При $a=3$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\dfrac{16\cdot a^{14}}{a^{8}}=16 a^{6}$

В произведении степени с одним основанием складываем, в частном вычитаем. Подкоренные показатели получаются чётными.

$\sqrt{\dfrac{16a^{14}}{a^8}}=4\cdot |a^{3}|$

Корень из квадрата равен модулю, а не самому выражению. Коэффициент извлекаем как неотрицательный квадратный корень.

$4\cdot |a^{3}|=4 a^{3}$

Все заданные переменные положительны, поэтому их целые степени, произведения и частные тоже положительны. Модуль можно раскрыть без изменения знака; знаменатели ненулевые.

$4 a^{3}=4 (3)^{3}=108$

Подставляем данные из условия после упрощения.

Ответ 108

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Квадратный корень неотрицателен: √(u²) = |u|. Раскрывай модуль только после проверки знака выражения и не допускай нулевого знаменателя.

Задача 47

Тип 22

Условие

Найдите значение выражения:

$\sqrt{\dfrac{16x^4}{y^6}}$

При $x=4{,}\quad y=2$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\dfrac{16\cdot x^{4}}{y^{6}}=\dfrac{16 x^{4}}{y^{6}}$

В произведении степени с одним основанием складываем, в частном вычитаем. Подкоренные показатели получаются чётными.

$\sqrt{\dfrac{16x^4}{y^6}}=4\cdot |\dfrac{x^{2}}{y^{3}}|$

Корень из квадрата равен модулю, а не самому выражению. Коэффициент извлекаем как неотрицательный квадратный корень.

$4\cdot |\dfrac{x^{2}}{y^{3}}|=\dfrac{4 x^{2}}{y^{3}}$

Все заданные переменные положительны, поэтому их целые степени, произведения и частные тоже положительны. Модуль можно раскрыть без изменения знака; знаменатели ненулевые.

$\dfrac{4 x^{2}}{y^{3}}=\dfrac{4 (4)^{2}}{(2)^{3}}=8$

Подставляем данные из условия после упрощения.

Ответ 8

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Квадратный корень неотрицателен: √(u²) = |u|. Раскрывай модуль только после проверки знака выражения и не допускай нулевого знаменателя.

Задача 48

Тип 23

Условие

Найдите значение выражения:

$\sqrt{\dfrac{1}{16} \cdot x^6y^4}$

При $x=2{,}\quad y=5$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\dfrac{1}{16}\cdot x^{6}\cdot y^{4}=\dfrac{x^{6} y^{4}}{16}$

В произведении степени с одним основанием складываем, в частном вычитаем. Подкоренные показатели получаются чётными.

$\sqrt{\dfrac{1}{16} \cdot x^6y^4}=\dfrac{1}{4}\cdot |x^{3} y^{2}|$

Корень из квадрата равен модулю, а не самому выражению. Коэффициент извлекаем как неотрицательный квадратный корень.

$\dfrac{1}{4}\cdot |x^{3} y^{2}|=\dfrac{x^{3} y^{2}}{4}$

Все заданные переменные положительны, поэтому их целые степени, произведения и частные тоже положительны. Модуль можно раскрыть без изменения знака; знаменатели ненулевые.

$\dfrac{x^{3} y^{2}}{4}=\dfrac{(2)^{3} (5)^{2}}{4}=50$

Подставляем данные из условия после упрощения.

Ответ 50

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Квадратный корень неотрицателен: √(u²) = |u|. Раскрывай модуль только после проверки знака выражения и не допускай нулевого знаменателя.

Задача 49

Тип 24

Условие

Найдите значение выражения:

$\sqrt{(-a)^8 \cdot a^2}$

При $a=2$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(-(a))^{8}=a^{8}$

Чётная степень числа и противоположного ему числа одинакова. Минус внутри скобок не сохраняется.

$(-(a))^{8}\cdot a^{2}=a^{10}$

В произведении степени с одним основанием складываем, в частном вычитаем. Подкоренные показатели получаются чётными.

$\sqrt{(-a)^8 \cdot a^2}=1\cdot |a^{5}|$

Корень из квадрата равен модулю, а не самому выражению. Коэффициент извлекаем как неотрицательный квадратный корень.

$1\cdot |a^{5}|=a^{5}$

Все заданные переменные положительны, поэтому их целые степени, произведения и частные тоже положительны. Модуль можно раскрыть без изменения знака; знаменатели ненулевые.

$a^{5}=(2)^{5}=32$

Подставляем данные из условия после упрощения.

Ответ 32

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Квадратный корень неотрицателен: √(u²) = |u|. Раскрывай модуль только после проверки знака выражения и не допускай нулевого знаменателя.

Задача 50

Тип 25

Условие

Найдите значение выражения:

$\sqrt{a^2 + 8ab + 16b^2}$

При $a=3\dfrac{3}{7}{,}\quad b=\dfrac{1}{7}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$a^{2}+8\cdot a\cdot b+16\cdot b^{2}=(a + 4 b)^2$

Проверяем крайние квадраты и средний член: он должен равняться удвоенному произведению с нужным знаком.

$\sqrt{a^2 + 8ab + 16b^2}=|a + 4 b|$

Квадратный корень неотрицателен. Поэтому √(u²) = |u|, даже если u после подстановки отрицательно.

$a + 4 b=(\dfrac{24}{7}) + 4 (\dfrac{1}{7})=4$

Смешанные числа сначала переводим в неправильные дроби. Минусы подставляем в скобках и сохраняем порядок действий.

$|4|=4$

Модуль отрицательного числа меняет его знак, модуль неотрицательного оставляет число прежним.

Ответ 4

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Квадратный корень неотрицателен: √(u²) = |u|. Раскрывай модуль только после проверки знака выражения и не допускай нулевого знаменателя.

Задача 51

Тип 1

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{5^9 \cdot 8^{11}}{40^9}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$8=2^{3}$

$40=2^{3}\cdot 5$

Степень произведения распределяем на множители. При возведении степени в степень показатели перемножаем; у обратной степени меняем знак показателя.

$\dfrac{5^9 \cdot 8^{11}}{40^9}=2^{33-27}\cdot 5^{9-9}$

$2^{33-27}\cdot 5^{9-9}=2^{6}\cdot 5^{0}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$2^{6}\cdot 5^{0}=1\cdot 64=64$

Вычисляем каждую оставшуюся степень и перемножаем результаты. Отрицательный показатель означает обратное число.

Ответ 64

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 52

Тип 2

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{5^5}{25}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$25=5^{2}$

Степень произведения распределяем на множители. При возведении степени в степень показатели перемножаем; у обратной степени меняем знак показателя.

$\dfrac{5^5}{25}=5^{5-2}$

$5^{5-2}=5^{3}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$5^{3}=125=125$

Вычисляем каждую оставшуюся степень и перемножаем результаты. Отрицательный показатель означает обратное число.

Ответ 125

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 53

Тип 3

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{(2^9)^{-3}}{2^{-29}}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(2^{9})^{-3}=2^{9\cdot(-3)}=2^{-27}$

Степень произведения распределяем на множители. При возведении степени в степень показатели перемножаем; у обратной степени меняем знак показателя.

$\dfrac{(2^9)^{-3}}{2^{-29}}=2^{-27+29}$

$2^{-27+29}=2^{2}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$2^{2}=4=4$

Вычисляем каждую оставшуюся степень и перемножаем результаты. Отрицательный показатель означает обратное число.

Ответ 4

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 54

Тип 4

Условие

Найдите значение выражения:

$2^{-7} \cdot (2^4)^3$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(2^{4})^{3}=2^{4\cdot(3)}=2^{12}$

Степень произведения распределяем на множители. При возведении степени в степень показатели перемножаем; у обратной степени меняем знак показателя.

$2^{-7} \cdot (2^4)^3=2^{-7+12}$

$2^{-7+12}=2^{5}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$2^{5}=32=32$

Вычисляем каждую оставшуюся степень и перемножаем результаты. Отрицательный показатель означает обратное число.

Ответ 32

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 55

Тип 5

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{(4 \cdot 5)^7}{4^5 \cdot 5^7}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(4\cdot 5)^{7}=4^{7}\cdot5^{7}$

Степень произведения распределяем на множители. При возведении степени в степень показатели перемножаем; у обратной степени меняем знак показателя.

$\dfrac{(4 \cdot 5)^7}{4^5 \cdot 5^7}=4^{7-5}\cdot 5^{7-7}$

$4^{7-5}\cdot 5^{7-7}=4^{2}\cdot 5^{0}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$4^{2}\cdot 5^{0}=16\cdot 1=16$

Вычисляем каждую оставшуюся степень и перемножаем результаты. Отрицательный показатель означает обратное число.

Ответ 16

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 56

Тип 6

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{1}{3^{-8}} \cdot \dfrac{1}{3^7}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\dfrac{1}{3^{-8}}=3^{8}$

$\dfrac{1}{3^{7}}=3^{-7}$

Степень произведения распределяем на множители. При возведении степени в степень показатели перемножаем; у обратной степени меняем знак показателя.

$\dfrac{1}{3^{-8}} \cdot \dfrac{1}{3^7}=3^{8-7}$

$3^{8-7}=3^{1}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$3^{1}=3=3$

Вычисляем каждую оставшуюся степень и перемножаем результаты. Отрицательный показатель означает обратное число.

Ответ 3

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 57

Тип 7

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{\sqrt{75} \cdot \sqrt{10}}{\sqrt{30}}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\sqrt{75}\cdot\sqrt{10}=\sqrt{75\cdot 10}=\sqrt{750}$

Подкоренные числа неотрицательны, поэтому произведение корней равно корню из произведения.

$\dfrac{\sqrt{75} \cdot \sqrt{10}}{\sqrt{30}}=\sqrt{\dfrac{750}{30}}=\sqrt{25}$

Делитель √30 положителен. Под корнем делим 750 на 30.

$\sqrt{25}=5$

$(5)^2=25$

Берём неотрицательный корень. Проверяем его возведением в квадрат.

Ответ 5

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 58

Тип 8

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{200}{(2\sqrt{5})^2}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(2\cdot \sqrt{5})^{2}=2^2\cdot 5=20$

В квадрат возводим и коэффициент, и корень. Квадрат квадратного корня возвращает подкоренное число.

$\dfrac{200}{(2\sqrt{5})^2}=\dfrac{200}{20}$

Сохраняем порядок деления: квадрат мог стоять как в числителе, так и в знаменателе.

$\dfrac{200}{20}=10$

Делим числитель на ненулевой знаменатель.

Ответ 10

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 59

Тип 9

Условие

Найдите значение выражения:

$5\sqrt{11} \cdot 2\sqrt{2} \cdot \sqrt{22}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$5\sqrt{11} \cdot 2\sqrt{2} \cdot \sqrt{22}=10\cdot\sqrt{11\cdot 2\cdot 22}$

Числовые коэффициенты перемножаем отдельно. Неотрицательные подкоренные числа объединяем под одним корнем.

$\sqrt{11\cdot 2\cdot 22}=\sqrt{484}=22$

$(22)^2=484$

Подкоренное произведение — полный квадрат. Проверяем найденный неотрицательный корень.

$10\cdot 22=220$

Возвращаем множитель, вынесенный перед корнем.

Ответ 220

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 60

Тип 10

Условие

Найдите значение выражения:

$\sqrt{8^4}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$8^{4}=4096$

Сначала выполняем возведение в степень. Получаем полный квадрат.

$\sqrt{8^4}=\sqrt{4096}=64$

$(64)^2=4096$

Квадратный корень неотрицателен. Его квадрат должен совпадать с подкоренным числом.

Ответ 64

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 61

Тип 11

Условие

Найдите значение выражения:

$(\sqrt{45} - \sqrt{5}) \cdot \sqrt{5}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\sqrt{45}=\sqrt{3^2\cdot 5}=3\sqrt{5}$

Число 45 представляем как 9 · 5; корень из 9 равен 3.

$3\sqrt{5}-\sqrt{5}=(3-1)\sqrt{5}=2\sqrt{5}$

Подкоренные части одинаковы. Складываем или вычитаем только коэффициенты.

$(\sqrt{45} - \sqrt{5}) \cdot \sqrt{5}=2\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}=2\cdot 5=10$

Произведение одинаковых квадратных корней равно подкоренному числу.

Ответ 10

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 62

Тип 12

Условие

Найдите значение выражения:

$\sqrt{13 \cdot 18} \cdot \sqrt{26}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\sqrt{13 \cdot 18} \cdot \sqrt{26}=1\cdot\sqrt{234\cdot 26}$

Числовые коэффициенты перемножаем отдельно. Неотрицательные подкоренные числа объединяем под одним корнем.

$\sqrt{234\cdot 26}=\sqrt{6084}=78$

$(78)^2=6084$

Подкоренное произведение — полный квадрат. Проверяем найденный неотрицательный корень.

$1\cdot 78=78$

Возвращаем множитель, вынесенный перед корнем.

Ответ 78

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 63

Тип 13

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{1}{\sqrt{10} - 3} - \dfrac{1}{\sqrt{10} + 3}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(\sqrt{10}-(3))(\sqrt{10}+3)=1$

Сопряжённые множители отличаются знаком между слагаемыми. Их произведение равно квадрату первого слагаемого минус квадрат второго. Знаменатель ненулевой.

$(\sqrt{10}+3)-(\sqrt{10}-(3))=6$

У первой дроби дополнительный множитель равен второму знаменателю, у второй — первому. При вычитании меняются знаки всех слагаемых в скобках.

$\dfrac{1}{\sqrt{10} - 3} - \dfrac{1}{\sqrt{10} + 3}=\dfrac{6}{1}=6$

Делим полученный числитель на общий знаменатель.

Ответ 6

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 64

Тип 14

Условие

Найдите значение выражения:

$(\sqrt{15} - 2)^2 + 4\sqrt{15}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(\sqrt{15}-(2))^{2}=15-4\sqrt{15}+4$

В квадрате двучлена есть три слагаемых: квадрат первого, удвоенное произведение со знаком и квадрат второго.

$(\sqrt{15} - 2)^2 + 4\sqrt{15}=15-4\sqrt{15}+4+4\cdot \sqrt{15}=15+4$

Слагаемые с одним и тем же корнем имеют противоположные коэффициенты и дают ноль.

$15+4=19$

После сокращения корней остаётся обычная сумма.

Ответ 19

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 65

Тип 15

Условие

Найдите значение выражения:

$(\sqrt{7} - \sqrt{5})(\sqrt{7} + \sqrt{5})$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(\sqrt{7} - \sqrt{5})(\sqrt{7} + \sqrt{5})=(\sqrt{7})^{2}-(\sqrt{5})^{2}$

Произведение разности и суммы одних и тех же чисел равно разности их квадратов.

$(\sqrt{7})^{2}=7$

$(\sqrt{5})^{2}=5$

Квадрат квадратного корня равен подкоренному числу; обычное число тоже возводим в квадрат.

$7-5=2$

Если второе число больше первого, разность отрицательна — знак минус нужно сохранить.

Ответ 2

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 66

Тип 16

Условие

Найдите значение выражения:

$a^6 \cdot a^{19} : a^{22}$

При $a=3$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$a^6 \cdot a^{19} : a^{22}=a^{6+19-22}$

$a^{6+19-22}=a^{3}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$a^{3}=a^{3}$

$a^{3}=(3)^{3}=27$

Ненулевая величина в нулевой степени равна единице. Подставляем значения только после сокращения степеней.

Ответ 27

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 67

Тип 17

Условие

Найдите значение выражения:

$(a^7)^{-2} : a^{-18}$

При $a=2$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(a^{7})^{-2}=a^{7\cdot(-2)}=a^{-14}$

Степень произведения распределяем на множители. При возведении степени в степень показатели перемножаем; у обратной степени меняем знак показателя.

$(a^7)^{-2} : a^{-18}=a^{-14+18}$

$a^{-14+18}=a^{4}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$a^{4}=a^{4}$

$a^{4}=(2)^{4}=16$

Ненулевая величина в нулевой степени равна единице. Подставляем значения только после сокращения степеней.

Ответ 16

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 68

Тип 18

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{a^{12} \cdot a^6}{a^{14}}$

При $a=3$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\dfrac{a^{12} \cdot a^6}{a^{14}}=a^{12+6-14}$

$a^{12+6-14}=a^{4}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$a^{4}=a^{4}$

$a^{4}=(3)^{4}=81$

Ненулевая величина в нулевой степени равна единице. Подставляем значения только после сокращения степеней.

Ответ 81

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 69

Тип 19

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{(a^3)^5 \cdot a^6}{a^{19}}$

При $a=5$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(a^{3})^{5}=a^{3\cdot(5)}=a^{15}$

Степень произведения распределяем на множители. При возведении степени в степень показатели перемножаем; у обратной степени меняем знак показателя.

$\dfrac{(a^3)^5 \cdot a^6}{a^{19}}=a^{15+6-19}$

$a^{15+6-19}=a^{2}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$a^{2}=a^{2}$

$a^{2}=(5)^{2}=25$

Ненулевая величина в нулевой степени равна единице. Подставляем значения только после сокращения степеней.

Ответ 25

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 70

Тип 20

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{a^{14} \cdot (b^4)^3}{(a \cdot b)^{12}}$

При $a=3{,}\quad b=\sqrt{3}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(b^{4})^{3}=b^{4\cdot(3)}=b^{12}$

$(a\cdot b)^{12}=a^{12}\cdotb^{12}$

Степень произведения распределяем на множители. При возведении степени в степень показатели перемножаем; у обратной степени меняем знак показателя.

$\dfrac{a^{14} \cdot (b^4)^3}{(a \cdot b)^{12}}=a^{14-12}\cdot b^{12-12}$

$a^{14-12}\cdot b^{12-12}=a^{2}\cdot b^{0}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$a^{2}\cdot b^{0}=a^{2}$

$a^{2}=(3)^{2}=9$

Ненулевая величина в нулевой степени равна единице. Подставляем значения только после сокращения степеней.

Ответ 9

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 71

Тип 21

Условие

Найдите значение выражения:

$\sqrt{\dfrac{4a^{20}}{a^{14}}}$

При $a=3$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\dfrac{4\cdot a^{20}}{a^{14}}=4 a^{6}$

В произведении степени с одним основанием складываем, в частном вычитаем. Подкоренные показатели получаются чётными.

$\sqrt{\dfrac{4a^{20}}{a^{14}}}=2\cdot |a^{3}|$

Корень из квадрата равен модулю, а не самому выражению. Коэффициент извлекаем как неотрицательный квадратный корень.

$2\cdot |a^{3}|=2 a^{3}$

Все заданные переменные положительны, поэтому их целые степени, произведения и частные тоже положительны. Модуль можно раскрыть без изменения знака; знаменатели ненулевые.

$2 a^{3}=2 (3)^{3}=54$

Подставляем данные из условия после упрощения.

Ответ 54

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Квадратный корень неотрицателен: √(u²) = |u|. Раскрывай модуль только после проверки знака выражения и не допускай нулевого знаменателя.

Задача 72

Тип 22

Условие

Найдите значение выражения:

$\sqrt{\dfrac{9x^4}{y^2}}$

При $x=2{,}\quad y=6$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\dfrac{9\cdot x^{4}}{y^{2}}=\dfrac{9 x^{4}}{y^{2}}$

В произведении степени с одним основанием складываем, в частном вычитаем. Подкоренные показатели получаются чётными.

$\sqrt{\dfrac{9x^4}{y^2}}=3\cdot |\dfrac{x^{2}}{y}|$

Корень из квадрата равен модулю, а не самому выражению. Коэффициент извлекаем как неотрицательный квадратный корень.

$3\cdot |\dfrac{x^{2}}{y}|=\dfrac{3 x^{2}}{y}$

Все заданные переменные положительны, поэтому их целые степени, произведения и частные тоже положительны. Модуль можно раскрыть без изменения знака; знаменатели ненулевые.

$\dfrac{3 x^{2}}{y}=\dfrac{3 (2)^{2}}{(6)}=2$

Подставляем данные из условия после упрощения.

Ответ 2

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Квадратный корень неотрицателен: √(u²) = |u|. Раскрывай модуль только после проверки знака выражения и не допускай нулевого знаменателя.

Задача 73

Тип 23

Условие

Найдите значение выражения:

$\sqrt{\dfrac{1}{4} \cdot x^8y^4}$

При $x=2{,}\quad y=3$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\dfrac{1}{4}\cdot x^{8}\cdot y^{4}=\dfrac{x^{8} y^{4}}{4}$

В произведении степени с одним основанием складываем, в частном вычитаем. Подкоренные показатели получаются чётными.

$\sqrt{\dfrac{1}{4} \cdot x^8y^4}=\dfrac{1}{2}\cdot |x^{4} y^{2}|$

Корень из квадрата равен модулю, а не самому выражению. Коэффициент извлекаем как неотрицательный квадратный корень.

$\dfrac{1}{2}\cdot |x^{4} y^{2}|=\dfrac{x^{4} y^{2}}{2}$

Все заданные переменные положительны, поэтому их целые степени, произведения и частные тоже положительны. Модуль можно раскрыть без изменения знака; знаменатели ненулевые.

$\dfrac{x^{4} y^{2}}{2}=\dfrac{(2)^{4} (3)^{2}}{2}=72$

Подставляем данные из условия после упрощения.

Ответ 72

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Квадратный корень неотрицателен: √(u²) = |u|. Раскрывай модуль только после проверки знака выражения и не допускай нулевого знаменателя.

Задача 74

Тип 24

Условие

Найдите значение выражения:

$\sqrt{a^2 \cdot (-a)^2}$

При $a=4$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(-(a))^{2}=a^{2}$

Чётная степень числа и противоположного ему числа одинакова. Минус внутри скобок не сохраняется.

$a^{2}\cdot (-(a))^{2}=a^{4}$

В произведении степени с одним основанием складываем, в частном вычитаем. Подкоренные показатели получаются чётными.

$\sqrt{a^2 \cdot (-a)^2}=1\cdot |a^{2}|$

Корень из квадрата равен модулю, а не самому выражению. Коэффициент извлекаем как неотрицательный квадратный корень.

$1\cdot |a^{2}|=a^{2}$

Все заданные переменные положительны, поэтому их целые степени, произведения и частные тоже положительны. Модуль можно раскрыть без изменения знака; знаменатели ненулевые.

$a^{2}=(4)^{2}=16$

Подставляем данные из условия после упрощения.

Ответ 16

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Квадратный корень неотрицателен: √(u²) = |u|. Раскрывай модуль только после проверки знака выражения и не допускай нулевого знаменателя.

Задача 75

Тип 25

Условие

Найдите значение выражения:

$\sqrt{36a^2 + 12ab + b^2}$

При $a=\dfrac{4}{5}{,}\quad b=8\dfrac{1}{5}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$36\cdot a^{2}+12\cdot a\cdot b+b^{2}=(6 a + b)^2$

Проверяем крайние квадраты и средний член: он должен равняться удвоенному произведению с нужным знаком.

$\sqrt{36a^2 + 12ab + b^2}=|6 a + b|$

Квадратный корень неотрицателен. Поэтому √(u²) = |u|, даже если u после подстановки отрицательно.

$6 a + b=6 (\dfrac{4}{5}) + (\dfrac{41}{5})=13$

Смешанные числа сначала переводим в неправильные дроби. Минусы подставляем в скобках и сохраняем порядок действий.

$|13|=13$

Модуль отрицательного числа меняет его знак, модуль неотрицательного оставляет число прежним.

Ответ 13

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Квадратный корень неотрицателен: √(u²) = |u|. Раскрывай модуль только после проверки знака выражения и не допускай нулевого знаменателя.

Задача 76

Тип 1

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{7^{-3} \cdot 7^{13}}{7^8}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\dfrac{7^{-3} \cdot 7^{13}}{7^8}=7^{-3+13-8}$

$7^{-3+13-8}=7^{2}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$7^{2}=49=49$

Вычисляем каждую оставшуюся степень и перемножаем результаты. Отрицательный показатель означает обратное число.

Ответ 49

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 77

Тип 2

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{4^4}{64}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$4=2^{2}$

$64=2^{6}$

Степень произведения распределяем на множители. При возведении степени в степень показатели перемножаем; у обратной степени меняем знак показателя.

$\dfrac{4^4}{64}=2^{8-6}$

$2^{8-6}=2^{2}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$2^{2}=4=4$

Вычисляем каждую оставшуюся степень и перемножаем результаты. Отрицательный показатель означает обратное число.

Ответ 4

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 78

Тип 3

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{(2^{11})^{-2}}{2^{-26}}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(2^{11})^{-2}=2^{11\cdot(-2)}=2^{-22}$

Степень произведения распределяем на множители. При возведении степени в степень показатели перемножаем; у обратной степени меняем знак показателя.

$\dfrac{(2^{11})^{-2}}{2^{-26}}=2^{-22+26}$

$2^{-22+26}=2^{4}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$2^{4}=16=16$

Вычисляем каждую оставшуюся степень и перемножаем результаты. Отрицательный показатель означает обратное число.

Ответ 16

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 79

Тип 4

Условие

Найдите значение выражения:

$5^{-7} \cdot (5^5)^2$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(5^{5})^{2}=5^{5\cdot(2)}=5^{10}$

Степень произведения распределяем на множители. При возведении степени в степень показатели перемножаем; у обратной степени меняем знак показателя.

$5^{-7} \cdot (5^5)^2=5^{-7+10}$

$5^{-7+10}=5^{3}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$5^{3}=125=125$

Вычисляем каждую оставшуюся степень и перемножаем результаты. Отрицательный показатель означает обратное число.

Ответ 125

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 80

Тип 5

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{(2 \cdot 5)^6}{2^4 \cdot 5^5}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(2\cdot 5)^{6}=2^{6}\cdot5^{6}$

Степень произведения распределяем на множители. При возведении степени в степень показатели перемножаем; у обратной степени меняем знак показателя.

$\dfrac{(2 \cdot 5)^6}{2^4 \cdot 5^5}=2^{6-4}\cdot 5^{6-5}$

$2^{6-4}\cdot 5^{6-5}=2^{2}\cdot 5^{1}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$2^{2}\cdot 5^{1}=4\cdot 5=20$

Вычисляем каждую оставшуюся степень и перемножаем результаты. Отрицательный показатель означает обратное число.

Ответ 20

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 81

Тип 6

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{1}{5^{-11}} \cdot \dfrac{1}{5^{10}}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\dfrac{1}{5^{-11}}=5^{11}$

$\dfrac{1}{5^{10}}=5^{-10}$

Степень произведения распределяем на множители. При возведении степени в степень показатели перемножаем; у обратной степени меняем знак показателя.

$\dfrac{1}{5^{-11}} \cdot \dfrac{1}{5^{10}}=5^{11-10}$

$5^{11-10}=5^{1}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$5^{1}=5=5$

Вычисляем каждую оставшуюся степень и перемножаем результаты. Отрицательный показатель означает обратное число.

Ответ 5

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 82

Тип 7

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{\sqrt{32} \cdot \sqrt{6}}{\sqrt{12}}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\sqrt{32}\cdot\sqrt{6}=\sqrt{32\cdot 6}=\sqrt{192}$

Подкоренные числа неотрицательны, поэтому произведение корней равно корню из произведения.

$\dfrac{\sqrt{32} \cdot \sqrt{6}}{\sqrt{12}}=\sqrt{\dfrac{192}{12}}=\sqrt{16}$

Делитель √12 положителен. Под корнем делим 192 на 12.

$\sqrt{16}=4$

$(4)^2=16$

Берём неотрицательный корень. Проверяем его возведением в квадрат.

Ответ 4

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 83

Тип 8

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{(2\sqrt{5})^2}{160}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(2\cdot \sqrt{5})^{2}=2^2\cdot 5=20$

В квадрат возводим и коэффициент, и корень. Квадрат квадратного корня возвращает подкоренное число.

$\dfrac{(2\sqrt{5})^2}{160}=\dfrac{20}{160}$

Сохраняем порядок деления: квадрат мог стоять как в числителе, так и в знаменателе.

$\dfrac{20}{160}=\dfrac{1}{8}$

Делим числитель на ненулевой знаменатель.

$\dfrac{1}{8}=0{,}125$

Делим числитель на знаменатель и записываем конечную десятичную дробь.

Ответ 0,125

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 84

Тип 9

Условие

Найдите значение выражения:

$4\sqrt{5} \cdot 3\sqrt{3} \cdot \sqrt{15}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$4\sqrt{5} \cdot 3\sqrt{3} \cdot \sqrt{15}=12\cdot\sqrt{5\cdot 3\cdot 15}$

Числовые коэффициенты перемножаем отдельно. Неотрицательные подкоренные числа объединяем под одним корнем.

$\sqrt{5\cdot 3\cdot 15}=\sqrt{225}=15$

$(15)^2=225$

Подкоренное произведение — полный квадрат. Проверяем найденный неотрицательный корень.

$12\cdot 15=180$

Возвращаем множитель, вынесенный перед корнем.

Ответ 180

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 85

Тип 10

Условие

Найдите значение выражения:

$\sqrt{9^4}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$9^{4}=6561$

Сначала выполняем возведение в степень. Получаем полный квадрат.

$\sqrt{9^4}=\sqrt{6561}=81$

$(81)^2=6561$

Квадратный корень неотрицателен. Его квадрат должен совпадать с подкоренным числом.

Ответ 81

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 86

Тип 11

Условие

Найдите значение выражения:

$(\sqrt{125} - \sqrt{5}) \cdot \sqrt{5}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\sqrt{125}=\sqrt{5^2\cdot 5}=5\sqrt{5}$

Число 125 представляем как 25 · 5; корень из 25 равен 5.

$5\sqrt{5}-\sqrt{5}=(5-1)\sqrt{5}=4\sqrt{5}$

Подкоренные части одинаковы. Складываем или вычитаем только коэффициенты.

$(\sqrt{125} - \sqrt{5}) \cdot \sqrt{5}=4\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}=4\cdot 5=20$

Произведение одинаковых квадратных корней равно подкоренному числу.

Ответ 20

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 87

Тип 12

Условие

Найдите значение выражения:

$\sqrt{5 \cdot 18} \cdot \sqrt{10}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\sqrt{5 \cdot 18} \cdot \sqrt{10}=1\cdot\sqrt{90\cdot 10}$

Числовые коэффициенты перемножаем отдельно. Неотрицательные подкоренные числа объединяем под одним корнем.

$\sqrt{90\cdot 10}=\sqrt{900}=30$

$(30)^2=900$

Подкоренное произведение — полный квадрат. Проверяем найденный неотрицательный корень.

$1\cdot 30=30$

Возвращаем множитель, вынесенный перед корнем.

Ответ 30

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 88

Тип 13

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{1}{3 + \sqrt{8}} + \dfrac{1}{3 - \sqrt{8}}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(3+\sqrt{8})(3-(\sqrt{8}))=1$

Сопряжённые множители отличаются знаком между слагаемыми. Их произведение равно квадрату первого слагаемого минус квадрат второго. Знаменатель ненулевой.

$(3-(\sqrt{8}))+(3+\sqrt{8})=6$

У первой дроби дополнительный множитель равен второму знаменателю, у второй — первому. При вычитании меняются знаки всех слагаемых в скобках.

$\dfrac{1}{3 + \sqrt{8}} + \dfrac{1}{3 - \sqrt{8}}=\dfrac{6}{1}=6$

Делим полученный числитель на общий знаменатель.

Ответ 6

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 89

Тип 14

Условие

Найдите значение выражения:

$(\sqrt{19} + 5)^2 - 10\sqrt{19}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(\sqrt{19}+5)^{2}=19+10\sqrt{19}+25$

В квадрате двучлена есть три слагаемых: квадрат первого, удвоенное произведение со знаком и квадрат второго.

$(\sqrt{19} + 5)^2 - 10\sqrt{19}=19+10\sqrt{19}+25-10\cdot \sqrt{19}=19+25$

Слагаемые с одним и тем же корнем имеют противоположные коэффициенты и дают ноль.

$19+25=44$

После сокращения корней остаётся обычная сумма.

Ответ 44

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 90

Тип 15

Условие

Найдите значение выражения:

$(\sqrt{23} - 2)(\sqrt{23} + 2)$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(\sqrt{23} - 2)(\sqrt{23} + 2)=(\sqrt{23})^{2}-(2)^{2}$

Произведение разности и суммы одних и тех же чисел равно разности их квадратов.

$(\sqrt{23})^{2}=23$

$(2)^{2}=4$

Квадрат квадратного корня равен подкоренному числу; обычное число тоже возводим в квадрат.

$23-4=19$

Если второе число больше первого, разность отрицательна — знак минус нужно сохранить.

Ответ 19

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 91

Тип 16

Условие

Найдите значение выражения:

$a^{13} \cdot a^{11} : a^{21}$

При $a=4$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$a^{13} \cdot a^{11} : a^{21}=a^{13+11-21}$

$a^{13+11-21}=a^{3}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$a^{3}=a^{3}$

$a^{3}=(4)^{3}=64$

Ненулевая величина в нулевой степени равна единице. Подставляем значения только после сокращения степеней.

Ответ 64

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 92

Тип 17

Условие

Найдите значение выражения:

$a^{-9} \cdot (a^2)^6$

При $a=5$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(a^{2})^{6}=a^{2\cdot(6)}=a^{12}$

Степень произведения распределяем на множители. При возведении степени в степень показатели перемножаем; у обратной степени меняем знак показателя.

$a^{-9} \cdot (a^2)^6=a^{-9+12}$

$a^{-9+12}=a^{3}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$a^{3}=a^{3}$

$a^{3}=(5)^{3}=125$

Ненулевая величина в нулевой степени равна единице. Подставляем значения только после сокращения степеней.

Ответ 125

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 93

Тип 18

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{a^9 \cdot a^8}{a^{12}}$

При $a=2$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\dfrac{a^9 \cdot a^8}{a^{12}}=a^{9+8-12}$

$a^{9+8-12}=a^{5}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$a^{5}=a^{5}$

$a^{5}=(2)^{5}=32$

Ненулевая величина в нулевой степени равна единице. Подставляем значения только после сокращения степеней.

Ответ 32

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 94

Тип 19

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{(a^3)^8 \cdot a^7}{a^{29}}$

При $a=7$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(a^{3})^{8}=a^{3\cdot(8)}=a^{24}$

Степень произведения распределяем на множители. При возведении степени в степень показатели перемножаем; у обратной степени меняем знак показателя.

$\dfrac{(a^3)^8 \cdot a^7}{a^{29}}=a^{24+7-29}$

$a^{24+7-29}=a^{2}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$a^{2}=a^{2}$

$a^{2}=(7)^{2}=49$

Ненулевая величина в нулевой степени равна единице. Подставляем значения только после сокращения степеней.

Ответ 49

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 95

Тип 20

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{a^{18} \cdot (b^8)^2}{(a \cdot b)^{16}}$

При $a=5{,}\quad b=\sqrt{5}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(b^{8})^{2}=b^{8\cdot(2)}=b^{16}$

$(a\cdot b)^{16}=a^{16}\cdotb^{16}$

Степень произведения распределяем на множители. При возведении степени в степень показатели перемножаем; у обратной степени меняем знак показателя.

$\dfrac{a^{18} \cdot (b^8)^2}{(a \cdot b)^{16}}=a^{18-16}\cdot b^{16-16}$

$a^{18-16}\cdot b^{16-16}=a^{2}\cdot b^{0}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$a^{2}\cdot b^{0}=a^{2}$

$a^{2}=(5)^{2}=25$

Ненулевая величина в нулевой степени равна единице. Подставляем значения только после сокращения степеней.

Ответ 25

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 96

Тип 21

Условие

Найдите значение выражения:

$\sqrt{\dfrac{9a^{19}}{a^9}}$

При $a=2$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\dfrac{9\cdot a^{19}}{a^{9}}=9 a^{10}$

В произведении степени с одним основанием складываем, в частном вычитаем. Подкоренные показатели получаются чётными.

$\sqrt{\dfrac{9a^{19}}{a^9}}=3\cdot |a^{5}|$

Корень из квадрата равен модулю, а не самому выражению. Коэффициент извлекаем как неотрицательный квадратный корень.

$3\cdot |a^{5}|=3 a^{5}$

Все заданные переменные положительны, поэтому их целые степени, произведения и частные тоже положительны. Модуль можно раскрыть без изменения знака; знаменатели ненулевые.

$3 a^{5}=3 (2)^{5}=96$

Подставляем данные из условия после упрощения.

Ответ 96

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Квадратный корень неотрицателен: √(u²) = |u|. Раскрывай модуль только после проверки знака выражения и не допускай нулевого знаменателя.

Задача 97

Тип 22

Условие

Найдите значение выражения:

$\sqrt{\dfrac{36x^2}{y^4}}$

При $x=6{,}\quad y=2$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\dfrac{36\cdot x^{2}}{y^{4}}=\dfrac{36 x^{2}}{y^{4}}$

В произведении степени с одним основанием складываем, в частном вычитаем. Подкоренные показатели получаются чётными.

$\sqrt{\dfrac{36x^2}{y^4}}=6\cdot |\dfrac{x}{y^{2}}|$

Корень из квадрата равен модулю, а не самому выражению. Коэффициент извлекаем как неотрицательный квадратный корень.

$6\cdot |\dfrac{x}{y^{2}}|=\dfrac{6 x}{y^{2}}$

Все заданные переменные положительны, поэтому их целые степени, произведения и частные тоже положительны. Модуль можно раскрыть без изменения знака; знаменатели ненулевые.

$\dfrac{6 x}{y^{2}}=\dfrac{6 (6)}{(2)^{2}}=9$

Подставляем данные из условия после упрощения.

Ответ 9

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Квадратный корень неотрицателен: √(u²) = |u|. Раскрывай модуль только после проверки знака выражения и не допускай нулевого знаменателя.

Задача 98

Тип 23

Условие

Найдите значение выражения:

$\sqrt{\dfrac{1}{25} \cdot x^8y^2}$

При $x=3{,}\quad y=5$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\dfrac{1}{25}\cdot x^{8}\cdot y^{2}=\dfrac{x^{8} y^{2}}{25}$

В произведении степени с одним основанием складываем, в частном вычитаем. Подкоренные показатели получаются чётными.

$\sqrt{\dfrac{1}{25} \cdot x^8y^2}=\dfrac{1}{5}\cdot |x^{4} y|$

Корень из квадрата равен модулю, а не самому выражению. Коэффициент извлекаем как неотрицательный квадратный корень.

$\dfrac{1}{5}\cdot |x^{4} y|=\dfrac{x^{4} y}{5}$

Все заданные переменные положительны, поэтому их целые степени, произведения и частные тоже положительны. Модуль можно раскрыть без изменения знака; знаменатели ненулевые.

$\dfrac{x^{4} y}{5}=\dfrac{(3)^{4} (5)}{5}=81$

Подставляем данные из условия после упрощения.

Ответ 81

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Квадратный корень неотрицателен: √(u²) = |u|. Раскрывай модуль только после проверки знака выражения и не допускай нулевого знаменателя.

Задача 99

Тип 24

Условие

Найдите значение выражения:

$\sqrt{a^2 \cdot (-a)^2}$

При $a=4$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(-(a))^{2}=a^{2}$

Чётная степень числа и противоположного ему числа одинакова. Минус внутри скобок не сохраняется.

$a^{2}\cdot (-(a))^{2}=a^{4}$

В произведении степени с одним основанием складываем, в частном вычитаем. Подкоренные показатели получаются чётными.

$\sqrt{a^2 \cdot (-a)^2}=1\cdot |a^{2}|$

Корень из квадрата равен модулю, а не самому выражению. Коэффициент извлекаем как неотрицательный квадратный корень.

$1\cdot |a^{2}|=a^{2}$

Все заданные переменные положительны, поэтому их целые степени, произведения и частные тоже положительны. Модуль можно раскрыть без изменения знака; знаменатели ненулевые.

$a^{2}=(4)^{2}=16$

Подставляем данные из условия после упрощения.

Ответ 16

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Квадратный корень неотрицателен: √(u²) = |u|. Раскрывай модуль только после проверки знака выражения и не допускай нулевого знаменателя.

Задача 100

Тип 25

Условие

Найдите значение выражения:

$\sqrt{a^2 - 4ab + 4b^2}$

При $a=3{,}\quad b=4$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$a^{2}-(4\cdot a\cdot b)+4\cdot b^{2}=(a - 2 b)^2$

Проверяем крайние квадраты и средний член: он должен равняться удвоенному произведению с нужным знаком.

$\sqrt{a^2 - 4ab + 4b^2}=|a - 2 b|$

Квадратный корень неотрицателен. Поэтому √(u²) = |u|, даже если u после подстановки отрицательно.

$a - 2 b=(3) - 2 (4)=-5$

Смешанные числа сначала переводим в неправильные дроби. Минусы подставляем в скобках и сохраняем порядок действий.

$|-5|=5$

Модуль отрицательного числа меняет его знак, модуль неотрицательного оставляет число прежним.

Ответ 5

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Квадратный корень неотрицателен: √(u²) = |u|. Раскрывай модуль только после проверки знака выражения и не допускай нулевого знаменателя.

Задача 101

Тип 1

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{24^4}{3^2 \cdot 8^3}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$8=2^{3}$

$24=2^{3}\cdot 3$

Степень произведения распределяем на множители. При возведении степени в степень показатели перемножаем; у обратной степени меняем знак показателя.

$\dfrac{24^4}{3^2 \cdot 8^3}=2^{12-9}\cdot 3^{4-2}$

$2^{12-9}\cdot 3^{4-2}=2^{3}\cdot 3^{2}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$2^{3}\cdot 3^{2}=8\cdot 9=72$

Вычисляем каждую оставшуюся степень и перемножаем результаты. Отрицательный показатель означает обратное число.

Ответ 72

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 102

Тип 2

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{2^7}{8}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$8=2^{3}$

Степень произведения распределяем на множители. При возведении степени в степень показатели перемножаем; у обратной степени меняем знак показателя.

$\dfrac{2^7}{8}=2^{7-3}$

$2^{7-3}=2^{4}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$2^{4}=16=16$

Вычисляем каждую оставшуюся степень и перемножаем результаты. Отрицательный показатель означает обратное число.

Ответ 16

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 103

Тип 3

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{(6^2)^{-9}}{6^{-20}}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(6^{2})^{-9}=6^{2\cdot(-9)}=6^{-18}$

Степень произведения распределяем на множители. При возведении степени в степень показатели перемножаем; у обратной степени меняем знак показателя.

$\dfrac{(6^2)^{-9}}{6^{-20}}=6^{-18+20}$

$6^{-18+20}=6^{2}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$6^{2}=36=36$

Вычисляем каждую оставшуюся степень и перемножаем результаты. Отрицательный показатель означает обратное число.

Ответ 36

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 104

Тип 4

Условие

Найдите значение выражения:

$7^{-6} \cdot (7^2)^4$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(7^{2})^{4}=7^{2\cdot(4)}=7^{8}$

Степень произведения распределяем на множители. При возведении степени в степень показатели перемножаем; у обратной степени меняем знак показателя.

$7^{-6} \cdot (7^2)^4=7^{-6+8}$

$7^{-6+8}=7^{2}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$7^{2}=49=49$

Вычисляем каждую оставшуюся степень и перемножаем результаты. Отрицательный показатель означает обратное число.

Ответ 49

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 105

Тип 5

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{(3 \cdot 4)^4}{3^2 \cdot 4^3}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(3\cdot 4)^{4}=3^{4}\cdot4^{4}$

Степень произведения распределяем на множители. При возведении степени в степень показатели перемножаем; у обратной степени меняем знак показателя.

$\dfrac{(3 \cdot 4)^4}{3^2 \cdot 4^3}=3^{4-2}\cdot 4^{4-3}$

$3^{4-2}\cdot 4^{4-3}=3^{2}\cdot 4^{1}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$3^{2}\cdot 4^{1}=9\cdot 4=36$

Вычисляем каждую оставшуюся степень и перемножаем результаты. Отрицательный показатель означает обратное число.

Ответ 36

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 106

Тип 6

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{1}{2^{-11}} \cdot \dfrac{1}{2^7}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\dfrac{1}{2^{-11}}=2^{11}$

$\dfrac{1}{2^{7}}=2^{-7}$

Степень произведения распределяем на множители. При возведении степени в степень показатели перемножаем; у обратной степени меняем знак показателя.

$\dfrac{1}{2^{-11}} \cdot \dfrac{1}{2^7}=2^{11-7}$

$2^{11-7}=2^{4}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$2^{4}=16=16$

Вычисляем каждую оставшуюся степень и перемножаем результаты. Отрицательный показатель означает обратное число.

Ответ 16

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 107

Тип 7

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{\sqrt{21} \cdot \sqrt{14}}{\sqrt{6}}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\sqrt{21}\cdot\sqrt{14}=\sqrt{21\cdot 14}=\sqrt{294}$

Подкоренные числа неотрицательны, поэтому произведение корней равно корню из произведения.

$\dfrac{\sqrt{21} \cdot \sqrt{14}}{\sqrt{6}}=\sqrt{\dfrac{294}{6}}=\sqrt{49}$

Делитель √6 положителен. Под корнем делим 294 на 6.

$\sqrt{49}=7$

$(7)^2=49$

Берём неотрицательный корень. Проверяем его возведением в квадрат.

Ответ 7

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 108

Тип 8

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{72}{(2\sqrt{3})^2}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(2\cdot \sqrt{3})^{2}=2^2\cdot 3=12$

В квадрат возводим и коэффициент, и корень. Квадрат квадратного корня возвращает подкоренное число.

$\dfrac{72}{(2\sqrt{3})^2}=\dfrac{72}{12}$

Сохраняем порядок деления: квадрат мог стоять как в числителе, так и в знаменателе.

$\dfrac{72}{12}=6$

Делим числитель на ненулевой знаменатель.

Ответ 6

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 109

Тип 9

Условие

Найдите значение выражения:

$10\sqrt{7} \cdot 2\sqrt{6} \cdot \sqrt{42}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$10\sqrt{7} \cdot 2\sqrt{6} \cdot \sqrt{42}=20\cdot\sqrt{7\cdot 6\cdot 42}$

Числовые коэффициенты перемножаем отдельно. Неотрицательные подкоренные числа объединяем под одним корнем.

$\sqrt{7\cdot 6\cdot 42}=\sqrt{1764}=42$

$(42)^2=1764$

Подкоренное произведение — полный квадрат. Проверяем найденный неотрицательный корень.

$20\cdot 42=840$

Возвращаем множитель, вынесенный перед корнем.

Ответ 840

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 110

Тип 10

Условие

Найдите значение выражения:

$\sqrt{4^3}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$4^{3}=64$

Сначала выполняем возведение в степень. Получаем полный квадрат.

$\sqrt{4^3}=\sqrt{64}=8$

$(8)^2=64$

Квадратный корень неотрицателен. Его квадрат должен совпадать с подкоренным числом.

Ответ 8

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 111

Тип 11

Условие

Найдите значение выражения:

$(\sqrt{18} + \sqrt{2}) \cdot \sqrt{2}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\sqrt{18}=\sqrt{3^2\cdot 2}=3\sqrt{2}$

Число 18 представляем как 9 · 2; корень из 9 равен 3.

$3\sqrt{2}+\sqrt{2}=(3+1)\sqrt{2}=4\sqrt{2}$

Подкоренные части одинаковы. Складываем или вычитаем только коэффициенты.

$(\sqrt{18} + \sqrt{2}) \cdot \sqrt{2}=4\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=4\cdot 2=8$

Произведение одинаковых квадратных корней равно подкоренному числу.

Ответ 8

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 112

Тип 12

Условие

Найдите значение выражения:

$\sqrt{11 \cdot 32} \cdot \sqrt{22}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\sqrt{11 \cdot 32} \cdot \sqrt{22}=1\cdot\sqrt{352\cdot 22}$

Числовые коэффициенты перемножаем отдельно. Неотрицательные подкоренные числа объединяем под одним корнем.

$\sqrt{352\cdot 22}=\sqrt{7744}=88$

$(88)^2=7744$

Подкоренное произведение — полный квадрат. Проверяем найденный неотрицательный корень.

$1\cdot 88=88$

Возвращаем множитель, вынесенный перед корнем.

Ответ 88

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 113

Тип 14

Условие

Найдите значение выражения:

$(\sqrt{5} + 9)^2 - 18\sqrt{5}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(\sqrt{5}+9)^{2}=5+18\sqrt{5}+81$

В квадрате двучлена есть три слагаемых: квадрат первого, удвоенное произведение со знаком и квадрат второго.

$(\sqrt{5} + 9)^2 - 18\sqrt{5}=5+18\sqrt{5}+81-18\cdot \sqrt{5}=5+81$

Слагаемые с одним и тем же корнем имеют противоположные коэффициенты и дают ноль.

$5+81=86$

После сокращения корней остаётся обычная сумма.

Ответ 86

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 114

Тип 15

Условие

Найдите значение выражения:

$(\sqrt{5} - \sqrt{3})(\sqrt{5} + \sqrt{3})$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(\sqrt{5} - \sqrt{3})(\sqrt{5} + \sqrt{3})=(\sqrt{5})^{2}-(\sqrt{3})^{2}$

Произведение разности и суммы одних и тех же чисел равно разности их квадратов.

$(\sqrt{5})^{2}=5$

$(\sqrt{3})^{2}=3$

Квадрат квадратного корня равен подкоренному числу; обычное число тоже возводим в квадрат.

$5-3=2$

Если второе число больше первого, разность отрицательна — знак минус нужно сохранить.

Ответ 2

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Проверяй знак между слагаемыми и порядок деления. Корень из суммы нельзя заменять суммой корней; квадрат коэффициента перед корнем тоже нужно учитывать.

Задача 115

Тип 16

Условие

Найдите значение выражения:

$a^7 \cdot a^{19} : a^{23}$

При $a=2$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$a^7 \cdot a^{19} : a^{23}=a^{7+19-23}$

$a^{7+19-23}=a^{3}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$a^{3}=a^{3}$

$a^{3}=(2)^{3}=8$

Ненулевая величина в нулевой степени равна единице. Подставляем значения только после сокращения степеней.

Ответ 8

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 116

Тип 17

Условие

Найдите значение выражения:

$(a^3)^{-4} : a^{-14}$

При $a=5$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(a^{3})^{-4}=a^{3\cdot(-4)}=a^{-12}$

Степень произведения распределяем на множители. При возведении степени в степень показатели перемножаем; у обратной степени меняем знак показателя.

$(a^3)^{-4} : a^{-14}=a^{-12+14}$

$a^{-12+14}=a^{2}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$a^{2}=a^{2}$

$a^{2}=(5)^{2}=25$

Ненулевая величина в нулевой степени равна единице. Подставляем значения только после сокращения степеней.

Ответ 25

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 117

Тип 18

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{a^{19} \cdot a^{-11}}{a^5}$

При $a=5$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\dfrac{a^{19} \cdot a^{-11}}{a^5}=a^{19-11-5}$

$a^{19-11-5}=a^{3}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$a^{3}=a^{3}$

$a^{3}=(5)^{3}=125$

Ненулевая величина в нулевой степени равна единице. Подставляем значения только после сокращения степеней.

Ответ 125

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 118

Тип 19

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{(a^6)^3}{a^{15}}$

При $a=4$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(a^{6})^{3}=a^{6\cdot(3)}=a^{18}$

Степень произведения распределяем на множители. При возведении степени в степень показатели перемножаем; у обратной степени меняем знак показателя.

$\dfrac{(a^6)^3}{a^{15}}=a^{18-15}$

$a^{18-15}=a^{3}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$a^{3}=a^{3}$

$a^{3}=(4)^{3}=64$

Ненулевая величина в нулевой степени равна единице. Подставляем значения только после сокращения степеней.

Ответ 64

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 119

Тип 20

Условие

Найдите значение выражения:

$\dfrac{a^{22} \cdot (b^3)^6}{(a \cdot b)^{18}}$

При $a=2{,}\quad b=\sqrt{2}$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$(b^{3})^{6}=b^{3\cdot(6)}=b^{18}$

$(a\cdot b)^{18}=a^{18}\cdotb^{18}$

Степень произведения распределяем на множители. При возведении степени в степень показатели перемножаем; у обратной степени меняем знак показателя.

$\dfrac{a^{22} \cdot (b^3)^6}{(a \cdot b)^{18}}=a^{22-18}\cdot b^{18-18}$

$a^{22-18}\cdot b^{18-18}=a^{4}\cdot b^{0}$

При умножении показатели складываем, при делении вычитаем. Вычитание отрицательного показателя превращается в сложение. Все основания в этой задаче ненулевые.

$a^{4}\cdot b^{0}=a^{4}$

$a^{4}=(2)^{4}=16$

Ненулевая величина в нулевой степени равна единице. Подставляем значения только после сокращения степеней.

Ответ 16

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: При умножении степеней показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Следи за отрицательными показателями.

Задача 120

Тип 21

Условие

Найдите значение выражения:

$\sqrt{\dfrac{25a^{12}}{a^8}}$

При $a=2$

Источник: Банк ФИПИ

Ход решения

$\dfrac{25\cdot a^{12}}{a^{8}}=25 a^{4}$

В произведении степени с одним основанием складываем, в частном вычитаем. Подкоренные показатели получаются чётными.

$\sqrt{\dfrac{25a^{12}}{a^8}}=5\cdot |a^{2}|$

Корень из квадрата равен модулю, а не самому выражению. Коэффициент извлекаем как неотрицательный квадратный корень.

$5\cdot |a^{2}|=5 a^{2}$

Все заданные переменные положительны, поэтому их целые степени, произведения и частные тоже положительны. Модуль можно раскрыть без изменения знака; знаменатели ненулевые.

$5 a^{2}=5 (2)^{2}=20$

Подставляем данные из условия после упрощения.

Ответ 20

Разобрать задачу на доске с ИИ репетитором → Решай задачу на доске, а ClassGPT видит каждый шаг и подсказывает, если ты застрял.

Где теряют балл: Квадратный корень неотрицателен: √(u²) = |u|. Раскрывай модуль только после проверки знака выражения и не допускай нулевого знаменателя.